$ \begin{vmatrix} 0 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 3 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{1+4} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} $

## 問題の内容

画像に写っている2つの行列式(5)と(6)の値を計算する問題です。

(5)

$$

\begin{vmatrix}

0 & 3 & 2 & 1 \\

1 & 1 & -1 & 2 \\

2 & 2 & 2 & 0 \\

4 & 1 & -2 & 3

\end{vmatrix}

$$

(6)

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2 & 1 & -4 \\

2 & 3 & 0 & -1 \\

1 & 3 & 0 & 2 \\

2 & 0 & -1 & 5

\end{vmatrix}

$$

## 解き方の手順

### (5)の行列式の計算

1. 1行目を基準に余因子展開を行います。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 3 & 2 & 1 \\

1 & 1 & -1 & 2 \\

2 & 2 & 2 & 0 \\

4 & 1 & -2 & 3

\end{vmatrix}

= 0 \cdot C_{11} + 3 \cdot (-1)^{1+2} \cdot

\begin{vmatrix}

1 & -1 & 2 \\

2 & 2 & 0 \\

4 & -2 & 3

\end{vmatrix}

+ 2 \cdot (-1)^{1+3} \cdot

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 2 \\

2 & 2 & 0 \\

4 & 1 & 3

\end{vmatrix}

+ 1 \cdot (-1)^{1+4} \cdot

\begin{vmatrix}

1 & 1 & -1 \\

2 & 2 & 2 \\

4 & 1 & -2

\end{vmatrix}

$$

2. それぞれの3x3行列式を計算します。

* 行列式1:

$$

\begin{vmatrix}

1 & -1 & 2 \\

2 & 2 & 0 \\

4 & -2 & 3

\end{vmatrix}

= 1(6-0) - (-1)(6-0) + 2(-4-8) = 6 + 6 - 24 = -12

$$

* 行列式2:

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 2 \\

2 & 2 & 0 \\

4 & 1 & 3

\end{vmatrix}

= 1(6-0) - 1(6-0) + 2(2-8) = 6 - 6 - 12 = -12

$$

* 行列式3:

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & -1 \\

2 & 2 & 2 \\

4 & 1 & -2

\end{vmatrix}

= 1(-4-2) - 1(-4-8) + (-1)(2-8) = -6 + 12 + 6 = 12

$$

3. 結果を代入して計算します。

$$

0 + 3(-1)(-12) + 2(1)(-12) + 1(-1)(12) = 36 - 24 - 12 = 0

$$

### (6)の行列式の計算

1. 4行目を基準に余因子展開を行います。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2 & 1 & -4 \\

2 & 3 & 0 & -1 \\

1 & 3 & 0 & 2 \\

2 & 0 & -1 & 5

\end{vmatrix}

= 2 \cdot (-1)^{4+1} \cdot

\begin{vmatrix}

2 & 1 & -4 \\

3 & 0 & -1 \\

3 & 0 & 2

\end{vmatrix}

+ 0 \cdot C_{42} + (-1) \cdot (-1)^{4+3} \cdot

\begin{vmatrix}

3 & 2 & -4 \\

2 & 3 & -1 \\

1 & 3 & 2

\end{vmatrix}

+ 5 \cdot (-1)^{4+4} \cdot

\begin{vmatrix}

3 & 2 & 1 \\

2 & 3 & 0 \\

1 & 3 & 0

\end{vmatrix}

$$

2. それぞれの3x3行列式を計算します。

* 行列式1:

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & -4 \\

3 & 0 & -1 \\

3 & 0 & 2

\end{vmatrix}

= -1 \cdot (6- (-3)) = -9

$$

* 行列式2:

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2 & -4 \\

2 & 3 & -1 \\

1 & 3 & 2

\end{vmatrix}

= 3(6 - (-3)) - 2(4 - (-1)) + (-4)(6-3) = 27 - 10 - 12 = 5

$$

* 行列式3:

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2 & 1 \\

2 & 3 & 0 \\

1 & 3 & 0

\end{vmatrix}

= 1(6-3) = 3

$$

3. 結果を代入して計算します。

$$

2(-1)(-9) + (-1)(-1)(5) + 5(1)(3) = 18 + 5 + 15 = 38

$$

## 最終的な答え

(5) の行列式の値: 0

(6) の行列式の値: 38