実数 $k$ を定数として、２つの放物線 $C_1: y = x^2 - 6x + 2k + 1$ と $C_2: y = x^2 - 2kx - 3k + 4$ が与えられている。 (1) $C_1$ が $x$ 軸と異なる２点で交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。 (2) $C_2$ と $x$ 軸の共有点の個数を $k$ の値で分類して求めよ。 (3) $C_1$, $C_2$ がともに $x$ 軸と異なる２点で交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $k$ を定数として、２つの放物線 $C_1: y = x^2 - 6x + 2k + 1$ と $C_2: y = x^2 - 2kx - 3k + 4$ が与えられている。

(1) $C_1$ が $x$ 軸と異なる２点で交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。

(2) $C_2$ と $x$ 軸の共有点の個数を $k$ の値で分類して求めよ。

(3) $C_1$, $C_2$ がともに $x$ 軸と異なる２点で交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $C_1$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-6)^2 - 4(2k+1) = 36 - 8k - 4 = 32 - 8k$

$C_1$ が $x$ 軸と異なる２点で交わるためには $D_1 > 0$ である必要があるので、

$32 - 8k > 0$

$8k < 32$

$k < 4$

(2) $C_2$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (-2k)^2 - 4(-3k + 4) = 4k^2 + 12k - 16 = 4(k^2 + 3k - 4) = 4(k+4)(k-1)$

$D_2 > 0$ のとき、 $C_2$ は $x$ 軸と異なる２点で交わる。

$4(k+4)(k-1) > 0$

$(k+4)(k-1) > 0$

よって、$k < -4$ または $k > 1$

$D_2 = 0$ のとき、 $C_2$ は $x$ 軸と１点で交わる (接する)。

$4(k+4)(k-1) = 0$

よって、$k = -4$ または $k = 1$

$D_2 < 0$ のとき、 $C_2$ は $x$ 軸と共有点を持たない。

$4(k+4)(k-1) < 0$

$(k+4)(k-1) < 0$

よって、$-4 < k < 1$

まとめると、

$k < -4$, $k > 1$ のとき、２個

$k = -4$, $k = 1$ のとき、１個

$-4 < k < 1$ のとき、０個

(3) $C_1$ と $C_2$ がともに $x$ 軸と異なる２点で交わるには、(1)と(2)の結果より、

$k < 4$ かつ ($k < -4$ または $k > 1$)

よって、$k < -4$ または $1 < k < 4$

3. 最終的な答え

(1) $k < 4$

(2)

$k < -4$, $k > 1$ のとき、２個

$k = -4$, $k = 1$ のとき、１個

$-4 < k < 1$ のとき、０個

(3) $k < -4$ または $1 < k < 4$