2次関数 $y = x^2 + 2kx + k^2 + 3k + 6$ のグラフが、$x$軸と共有点をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2kx + k^2 + 3k + 6$ のグラフが、$x$軸と共有点をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 + 2kx + k^2 + 3k + 6$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもつ条件は、2次方程式 $x^2 + 2kx + k^2 + 3k + 6 = 0$ が実数解をもつことです。

2次方程式が実数解をもつための条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ となることです。

判別式 $D$ は

$D = (2k)^2 - 4(1)(k^2 + 3k + 6)$

$D = 4k^2 - 4(k^2 + 3k + 6)$

$D = 4k^2 - 4k^2 - 12k - 24$

$D = -12k - 24$

したがって、

$-12k - 24 \geq 0$

$-12k \geq 24$

$k \leq -2$

3. 最終的な答え

$k \leq -2$