与えられた2次関数 $y = x^2 + 2ax + 1 + a^2$ が直線 $y = ax + 5$ と接するときの $a$ の値を求め、その時の接点の座標を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 + 2ax + 1 + a^2$ が直線 $y = ax + 5$ と接するときの $a$ の値を求め、その時の接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次関数と直線が接するということは、それらの式を連立した方程式が重解を持つということである。

$x^2 + 2ax + 1 + a^2 = ax + 5$

$x^2 + (2a - a)x + (1 + a^2 - 5) = 0$

$x^2 + ax + a^2 - 4 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D = a^2 - 4(a^2 - 4) = 0$

$a^2 - 4a^2 + 16 = 0$

$-3a^2 + 16 = 0$

$3a^2 = 16$

$a^2 = \frac{16}{3}$

$a = \pm \sqrt{\frac{16}{3}} = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} = \pm \frac{4\sqrt{3}}{3}$

次に、それぞれの $a$ の値に対して、接点の $x$ 座標を求める。重解を持つときの $x$ 座標は、$x = -\frac{a}{2}$ である。

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ のとき、 $x = -\frac{4\sqrt{3}}{3} / 2 = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

このとき、$y = ax + 5 = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot (-\frac{2\sqrt{3}}{3}) + 5 = -\frac{8 \cdot 3}{9} + 5 = -\frac{8}{3} + 5 = \frac{-8 + 15}{3} = \frac{7}{3}$

$a = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$ のとき、$x = - (-\frac{4\sqrt{3}}{3}) / 2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

このとき、$y = ax + 5 = -\frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} + 5 = -\frac{8 \cdot 3}{9} + 5 = -\frac{8}{3} + 5 = \frac{-8 + 15}{3} = \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ のとき、接点の座標は $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{7}{3})$

$a = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$ のとき、接点の座標は $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{7}{3})$