$\mathbb{R}^2$ の基底 $A = \{ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix} \}$ から基底 $B = \{ \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} \}$ への基底の取り替え行列を求め、さらに、あるベクトルの $A$ に関する座標が $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であるとき、そのベクトルの $B$ に関する座標を求める。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^2$ の基底 $A = \{ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix} \}$ から基底 $B = \{ \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} \}$ への基底の取り替え行列を求め、さらに、あるベクトルの $A$ に関する座標が $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であるとき、そのベクトルの $B$ に関する座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、基底 $A$ から基底 $B$ への基底の取り替え行列 $P$ を求める。

$B$ の各ベクトルを $A$ の線形結合で表す。つまり、

$\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}$

を解いて、$a, b, c, d$ を求める。

連立一次方程式を解く:

$3a + 7b = 4$

$2a + 5b = 3$

これを解くと、 $a = -1, b = 1$

したがって、

$\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} = -1 \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}$

次に、

$3c + 7d = 5$

$2c + 5d = 4$

これを解くと、 $c = -3, d = 2$

したがって、

$\begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} = -3 \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}$

よって、$A$ から $B$ への基底の取り替え行列 $P$ は、

$P = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

次に、$A$ に関する座標が $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であるベクトルの $B$ に関する座標を求める。

$A$ に関する座標が $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であるベクトル $v$ は、

$v = 1 \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 7 \end{bmatrix}$

$B$ に関する座標を $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ とすると、

$\begin{bmatrix} 10 \\ 7 \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$

つまり、

$4x + 5y = 10$

$3x + 4y = 7$

これを解くと、 $x = 5, y = -2$

したがって、$B$ に関する座標は $\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

基底の取り替え行列: $\begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

$B$ に関する座標: $\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}$