実数 $a$ を係数に持つ2次方程式 $x^2 + 2ax + (a-1) = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とする。 (1) $\alpha$ と $\beta$ が異なる実数であることを示す。 (2) $\alpha$ と $\beta$ のうち、少なくとも1つは負であることを示す。 (3) $\alpha \le 0, \beta \le 0$ であるとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を係数に持つ2次方程式 $x^2 + 2ax + (a-1) = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とする。

(1) $\alpha$ と $\beta$ が異なる実数であることを示す。

(2) $\alpha$ と $\beta$ のうち、少なくとも1つは負であることを示す。

(3) $\alpha \le 0, \beta \le 0$ であるとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 + 2ax + (a-1) = 0$ の判別式 $D$ を計算する。

$D = (2a)^2 - 4(1)(a-1) = 4a^2 - 4a + 4 = 4(a^2 - a + 1)$

$a^2 - a + 1 = (a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ より $D > 0$ である。

したがって、$\alpha$ と $\beta$ は異なる実数である。

(2) 解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2a$

$\alpha \beta = a - 1$

ここで、もし $\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ と仮定すると、$\alpha \beta > 0$ となる。

このとき、$a - 1 > 0$ より $a > 1$ となる。

また、$\alpha + \beta = -2a > 0$ より $a < 0$ となる。

これは $a > 1$ と矛盾するので、$\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ とはならない。

したがって、$\alpha$ と $\beta$ のうち、少なくとも1つは負である。

(3) $\alpha \le 0, \beta \le 0$ であるとき、$\alpha + \beta = -2a \le 0$ より $a \ge 0$ である。

また、$\alpha \beta = a - 1 \ge 0$ は $\alpha, \beta$ が共に負の時のみ成立する。その場合、$a \ge 1$ である。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (-2a)^2 - 2(a-1) = 4a^2 - 2a + 2$

$f(a) = 4a^2 - 2a + 2$ とする。

$f(a) = 4(a^2 - \frac{1}{2}a) + 2 = 4(a - \frac{1}{4})^2 - 4(\frac{1}{16}) + 2 = 4(a - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{4}$

$a \ge 1$ の範囲で $f(a)$ は増加関数なので、$a = 1$ のとき最小値をとる。

$f(1) = 4(1)^2 - 2(1) + 2 = 4 - 2 + 2 = 4$

したがって、$\alpha^2 + \beta^2$ の最小値は4である。

$a = 1$ のとき、方程式は $x^2 + 2x = 0$ となり、解は $x = 0, -2$ なので、条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha$ と $\beta$ は異なる実数である。（証明終わり）

(2) $\alpha$ と $\beta$ のうち、少なくとも1つは負である。（証明終わり）

(3) $\alpha^2 + \beta^2$ の最小値は4である。