与えられた命題の対偶を証明することで、元の命題を証明します。 (1) $x+y=2$ ならば「$x \leq 1$ または $y \leq 1$」 (2) $a^2+b^2 \geq 6$ ならば「$|a+b| > 1$ または $|a-b| > 3$」

1. 問題の内容

与えられた命題の対偶を証明することで、元の命題を証明します。

(1) $x+y=2$ ならば「$x \leq 1$ または $y \leq 1$」

(2) $a^2+b^2 \geq 6$ ならば「$|a+b| > 1$ または $|a-b| > 3$」

2. 解き方の手順

(1)

対偶を考えると、「$x > 1$ かつ $y > 1$」ならば「$x+y \neq 2$」となります。

$x > 1$ かつ $y > 1$ であるとき、$x+y > 1+1 = 2$ より、$x+y > 2$。

したがって、$x+y \neq 2$。

よって、対偶は真であり、元の命題も真です。

(2)

対偶を考えると、「$|a+b| \leq 1$ かつ $|a-b| \leq 3$」ならば「$a^2+b^2 < 6$」となります。

$|a+b| \leq 1$ より、$(a+b)^2 \leq 1$。

$|a-b| \leq 3$ より、$(a-b)^2 \leq 9$。

$(a+b)^2 + (a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$

したがって、$2(a^2+b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2 \leq 1+9 = 10$。

$2(a^2+b^2) \leq 10$ より、$a^2+b^2 \leq 5$。

したがって、$a^2+b^2 < 6$。

よって、対偶は真であり、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

(1) $x+y=2$ ならば「$x \leq 1$ または $y \leq 1$」は真である。

(2) $a^2+b^2 \geq 6$ ならば「$|a+b| > 1$ または $|a-b| > 3$」は真である。