与えられた2つの命題を、対偶を利用して証明する。 (1) $x+y > a$ ならば「$x > a-b$ または $y > b$」 (2) $x$ についての方程式 $ax+b=0$ がただ1つの解をもつならば $a \neq 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの命題を、対偶を利用して証明する。

(1) $x+y > a$ ならば「$x > a-b$ または $y > b$」

(2) $x$ についての方程式 $ax+b=0$ がただ1つの解をもつならば $a \neq 0$

2. 解き方の手順

(1)

対偶を考える：

「$x \leq a-b$ かつ $y \leq b$」ならば $x+y \leq a$ であることを示す。

$x \leq a-b$ と $y \leq b$ を仮定する。

このとき、$x+y \leq (a-b) + b = a$ となる。

したがって、$x+y \leq a$ が成り立つ。

よって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

(2)

対偶を考える：

$a = 0$ ならば、$ax + b = 0$ はただ1つの解をもたないことを示す。

$a = 0$ を仮定する。

このとき、$ax + b = 0$ は $0 \cdot x + b = 0$ となる。

つまり、$b = 0$ となる。

$b \neq 0$ ならば、解は存在しない。

$b = 0$ ならば、$0 \cdot x = 0$ となり、全ての $x$ が解となる。

いずれの場合も、ただ1つの解をもつことはない。

したがって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1) 対偶を利用して証明完了

(2) 対偶を利用して証明完了