与えられた式 $\frac{4}{3+\sqrt{5}}$ を計算し、分母を有理化して簡単にします。

代数学分母の有理化平方根式の計算
2025/7/15

1. 問題の内容

与えられた式 43+5\frac{4}{3+\sqrt{5}} を計算し、分母を有理化して簡単にします。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、3+53+\sqrt{5} の共役な複素数である 353-\sqrt{5} を分子と分母に掛けます。
43+5=4(35)(3+5)(35)\frac{4}{3+\sqrt{5}} = \frac{4(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}
分母を展開します。
(3+5)(35)=32(5)2=95=4(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4
分子を展開します。
4(35)=12454(3-\sqrt{5}) = 12 - 4\sqrt{5}
したがって、
43+5=12454\frac{4}{3+\sqrt{5}} = \frac{12 - 4\sqrt{5}}{4}
分子と分母を4で割ります。
12454=124454=35\frac{12 - 4\sqrt{5}}{4} = \frac{12}{4} - \frac{4\sqrt{5}}{4} = 3 - \sqrt{5}

3. 最終的な答え

353 - \sqrt{5}

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