$a$を定数として、次の不等式を解く。 (1) $ax+2>0$ (2) $ax-6>2x-3a$

1. 問題の内容

$a$を定数として、次の不等式を解く。

(1) $ax+2>0$

(2) $ax-6>2x-3a$

2. 解き方の手順

(1) $ax+2>0$ について

まず、$ax>-2$に変形する。

次に、$a$の値によって場合分けをする。

(i) $a>0$のとき

$x>-\frac{2}{a}$

(ii) $a<0$のとき

$x<-\frac{2}{a}$

(iii) $a=0$のとき

$0x>-2$ となる。これは、$x$がどんな値でも成り立つので、解はすべての実数。

(2) $ax-6>2x-3a$ について

まず、$ax-2x>6-3a$に変形する。

次に、$(a-2)x>6-3a$とまとめる。

さらに、$(a-2)x>-3(a-2)$ と変形する。

次に、$a$の値によって場合分けをする。

(i) $a-2>0$、つまり、$a>2$のとき

$x>\frac{-3(a-2)}{a-2}$

$x>-3$

(ii) $a-2<0$、つまり、$a<2$のとき

$x<\frac{-3(a-2)}{a-2}$

$x<-3$

(iii) $a-2=0$、つまり、$a=2$のとき

$0x>0$ となる。これは、$x$がどんな値でも成り立たないので、解なし。

3. 最終的な答え

(1) $ax+2>0$

$a>0$のとき、$x>-\frac{2}{a}$

$a<0$のとき、$x<-\frac{2}{a}$

$a=0$のとき、すべての実数

(2) $ax-6>2x-3a$

$a>2$のとき、$x>-3$

$a<2$のとき、$x<-3$

$a=2$のとき、解なし