(1) $x, y$ を実数とするとき、$x^2 - 4xy + 5y^2 - 6x + 6y + 12$ の最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。 (2) $x + 2y + 3z = 7$ のとき、$x^2 + y^2 + z^2$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x, y$ を実数とするとき、$x^2 - 4xy + 5y^2 - 6x + 6y + 12$ の最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

(2) $x + 2y + 3z = 7$ のとき、$x^2 + y^2 + z^2$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式を $x$ について平方完成する。

\begin{align*}

x^2 - 4xy + 5y^2 - 6x + 6y + 12 &= (x^2 - (4y + 6)x) + 5y^2 + 6y + 12 \\

&= (x - (2y + 3))^2 - (2y + 3)^2 + 5y^2 + 6y + 12 \\

&= (x - 2y - 3)^2 - (4y^2 + 12y + 9) + 5y^2 + 6y + 12 \\

&= (x - 2y - 3)^2 + y^2 - 6y + 3 \\

&= (x - 2y - 3)^2 + (y - 3)^2 - 9 + 3 \\

&= (x - 2y - 3)^2 + (y - 3)^2 - 6

\end{align*}

したがって、$x - 2y - 3 = 0$ かつ $y - 3 = 0$ のとき、最小値 $-6$ をとる。

$y = 3$ を $x - 2y - 3 = 0$ に代入すると、

$x - 2(3) - 3 = 0$ より、$x = 9$ となる。

(2)

コーシー・シュワルツの不等式を用いる。

$(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \geq (ax + by + cz)^2$

ここで、$a = 1, b = 2, c = 3$ とすると、

$(1^2 + 2^2 + 3^2)(x^2 + y^2 + z^2) \geq (x + 2y + 3z)^2$

$(1 + 4 + 9)(x^2 + y^2 + z^2) \geq (7)^2$

$14(x^2 + y^2 + z^2) \geq 49$

$x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{49}{14} = \frac{7}{2}$

等号成立条件は $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = k$ となる。

すなわち、$x = k, y = 2k, z = 3k$ である。

$x + 2y + 3z = 7$ に代入すると、

$k + 2(2k) + 3(3k) = 7$

$k + 4k + 9k = 7$

$14k = 7$

$k = \frac{1}{2}$

よって、$x = \frac{1}{2}, y = 1, z = \frac{3}{2}$ のとき最小値 $\frac{7}{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $x = 9, y = 3$ のとき、最小値 $-6$ をとる。

(2) 最小値 $\frac{7}{2}$