$x$の2次方程式 $(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a+5 = 0$ が実数解を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求める。

代数学二次方程式判別式不等式実数解
2025/7/15

1. 問題の内容

xxの2次方程式 (a3)x2+2(a+3)x+a+5=0(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a+5 = 0 が実数解を持つように、定数 aa の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式が実数解を持つためには、判別式 DDD0D \ge 0 でなければならない。ただし、2次方程式であるためには、a30a-3 \ne 0である必要がある。
まず、a3=0a-3 = 0のとき、a=3a=3を代入すると、
0x2+2(3+3)x+3+5=00x^2 + 2(3+3)x + 3+5=0
12x+8=012x + 8 = 0
x=812=23x = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}
これは実数解を持つため、a=3a=3は条件を満たす。
次に、a3a \ne 3の場合を考える。
2次方程式の判別式 DD は、D=b24acD = b^2 - 4ac で与えられる。
この問題では、a=a3a = a-3, b=2(a+3)b = 2(a+3), c=a+5c = a+5 なので、
D=[2(a+3)]24(a3)(a+5)D = [2(a+3)]^2 - 4(a-3)(a+5)
D=4(a2+6a+9)4(a2+2a15)D = 4(a^2+6a+9) - 4(a^2+2a-15)
D=4(a2+6a+9a22a+15)D = 4(a^2+6a+9 - a^2 - 2a + 15)
D=4(4a+24)D = 4(4a+24)
D=16(a+6)D = 16(a+6)
実数解を持つための条件は、D0D \ge 0 であるから、
16(a+6)016(a+6) \ge 0
a+60a+6 \ge 0
a6a \ge -6
a=3a=3の場合も考慮すると、a6a \ge -6である。
ただし、a3a \ne 3の場合だけを考えると、a6a \ge -6かつa3a \ne 3となる。
まとめると、a=3a=3の場合も実数解を持つので、a6a \ge -6となる。

3. 最終的な答え

a6a \ge -6

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