与えられた4つの2次関数について、それぞれの頂点と軸を求め、グラフを描く問題です。 (1) $y = -\frac{1}{2}x^2$ (2) $y = (x-3)^2 - 4$ (3) $y = -2(x+4)^2$ (4) $y = 2x^2 - 3$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、それぞれの頂点と軸を求め、グラフを描く問題です。

(1) $y = -\frac{1}{2}x^2$

(2) $y = (x-3)^2 - 4$

(3) $y = -2(x+4)^2$

(4) $y = 2x^2 - 3$

2. 解き方の手順

2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。このとき、頂点は $(p, q)$、軸は $x = p$ となります。

(1) $y = -\frac{1}{2}x^2$

この式は $y = -\frac{1}{2}(x-0)^2 + 0$ と変形できます。

したがって、頂点は $(0, 0)$、軸は $x = 0$ (y軸)です。

(2) $y = (x-3)^2 - 4$

この式は既に $y = a(x-p)^2 + q$ の形になっています。

したがって、頂点は $(3, -4)$、軸は $x = 3$ です。

(3) $y = -2(x+4)^2$

この式は $y = -2(x-(-4))^2 + 0$ と変形できます。

したがって、頂点は $(-4, 0)$、軸は $x = -4$ です。

(4) $y = 2x^2 - 3$

この式は $y = 2(x-0)^2 - 3$ と変形できます。

したがって、頂点は $(0, -3)$、軸は $x = 0$ (y軸)です。

グラフは、各頂点を中心にして、それぞれの関数の形に合わせて描きます。(1)は上に凸、(2)は下に凸、(3)は上に凸、(4)は下に凸です。また、|a|が大きいほどグラフの開き方は小さくなります。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(0, 0)$、軸: $x = 0$

(2) 頂点: $(3, -4)$、軸: $x = 3$

(3) 頂点: $(-4, 0)$、軸: $x = -4$

(4) 頂点: $(0, -3)$、軸: $x = 0$