与えられた連立一次方程式について、以下の問いに答える。 (1) 係数行列および拡大係数行列の階数を求める。 (2) 連立方程式の解を求める。 連立一次方程式は以下である。 $ \begin{cases} x + 3y - 4z = -4 \\ 4x + 12y - z = 14 \\ 7x + 21y - 9z = 10 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、以下の問いに答える。

(1) 係数行列および拡大係数行列の階数を求める。

(2) 連立方程式の解を求める。

連立一次方程式は以下である。

$$

\begin{cases}

x + 3y - 4z = -4 \\

4x + 12y - z = 14 \\

7x + 21y - 9z = 10

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1) 係数行列および拡大係数行列の階数を求める。

係数行列 $A$ は

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 \\

4 & 12 & -1 \\

7 & 21 & -9

\end{pmatrix}

$$

拡大係数行列 $A'$ は

$$

A' = \begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 & -4 \\

4 & 12 & -1 & 14 \\

7 & 21 & -9 & 10

\end{pmatrix}

$$

行列$A'$の行基本変形を行う。

2行目を(2行目 - 4 * 1行目)にする。

3行目を(3行目 - 7 * 1行目)にする。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 & -4 \\

0 & 0 & 15 & 30 \\

0 & 0 & 19 & 38

\end{pmatrix}

$$

3行目を(3行目 - (19/15) * 2行目)にする。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 & -4 \\

0 & 0 & 15 & 30 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 & -4 \\

0 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

1行目を(1行目 + 4 * 2行目)にする。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 0 & 4 \\

0 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

したがって、拡大係数行列の階数は2である。

係数行列$A$も同様に行基本変形を行うと、以下のようになる。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 \\

4 & 12 & -1 \\

7 & 21 & -9

\end{pmatrix}

$$

2行目を(2行目 - 4 * 1行目)にする。

3行目を(3行目 - 7 * 1行目)にする。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 \\

0 & 0 & 15 \\

0 & 0 & 19

\end{pmatrix}

$$

3行目を(3行目 - (19/15) * 2行目)にする。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 \\

0 & 0 & 15 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

したがって、係数行列の階数は2である。

(2) 連立方程式の解を求める。

拡大係数行列の簡約化された行列から、以下の式が得られる。

$$

\begin{cases}

x + 3y = 4 \\

z = 2

\end{cases}

$$

$y = k$ (任意の実数) とすると、

$x = 4 - 3k$

したがって、解は

$$

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

4 - 3k \\

k \\

2

\end{pmatrix}

$$

（$k$は任意の実数）

3. 最終的な答え

(1) 係数行列の階数：2

拡大係数行列の階数：2

(2) 連立方程式の解：

$$

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

4 - 3k \\

k \\

2

\end{pmatrix}

$$

（$k$は任意の実数）