与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} x + 3y - 4z = -4 \\ 4x + 12y - z = 14 \\ 7x + 21y - 9z = 10 \end{cases} $ について、以下の問いに答えます。 (1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求めます。 (2) 連立一次方程式の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$$

\begin{cases}

x + 3y - 4z = -4 \\

4x + 12y - z = 14 \\

7x + 21y - 9z = 10

\end{cases}

$$

について、以下の問いに答えます。

(1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求めます。

(2) 連立一次方程式の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 係数行列と拡大係数行列を求め、それぞれの階数を計算します。

係数行列 $A$ は

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 \\

4 & 12 & -1 \\

7 & 21 & -9

\end{pmatrix}

$$

拡大係数行列 $A'$ は

$$

A' = \begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 & -4 \\

4 & 12 & -1 & 14 \\

7 & 21 & -9 & 10

\end{pmatrix}

$$

行列$A'$に対して行基本変形を行います。

2行目から1行目の4倍を引きます。

3行目から1行目の7倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 & -4 \\

0 & 0 & 15 & 30 \\

0 & 0 & 19 & 38

\end{pmatrix}

$$

次に、3行目から2行目の$\frac{19}{15}$倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 & -4 \\

0 & 0 & 15 & 30 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

この行列は階段行列であり、0でない行は2行なので、$rank(A')=2$となります。

同様に$A$に対して行基本変形を行います。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 \\

4 & 12 & -1 \\

7 & 21 & -9

\end{pmatrix}

$$

2行目から1行目の4倍を引きます。

3行目から1行目の7倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 \\

0 & 0 & 15 \\

0 & 0 & 19

\end{pmatrix}

$$

3行目から2行目の$\frac{19}{15}$倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & -4 \\

0 & 0 & 15 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

この行列は階段行列であり、0でない行は2行なので、$rank(A)=2$となります。

(2) 連立一次方程式の解を求めます。

$rank(A)=rank(A')=2$であり、未知数の数3よりも少ないので、この連立一次方程式は解を持ちます。自由度は $3-2 = 1$ です。

簡約化された拡大係数行列から、次の方程式を得ます。

$$

\begin{cases}

x + 3y - 4z = -4 \\

15z = 30

\end{cases}

$$

これにより、$z=2$となります。これを最初の式に代入すると、$x + 3y - 8 = -4$、つまり$x = -3y + 4$となります。

したがって、解は、$x = -3y + 4, z = 2$となります。$y=t$とおくと、解は $(x,y,z) = (-3t+4, t, 2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 係数行列の階数は2、拡大係数行列の階数は2です。

(2) 連立一次方程式の解は $(x,y,z) = (-3t+4, t, 2)$ (ただし、$t$ は任意の実数) です。