関数 $f: X \rightarrow Y$ に対して、以下の定義を述べる。 (1) $f$ の逆像 (2) $f$ の逆写像

1. 問題の内容

関数 $f: X \rightarrow Y$ に対して、以下の定義を述べる。

(1) $f$ の逆像

(2) $f$ の逆写像

2. 解き方の手順

(1) $f$ の逆像: $f: X \rightarrow Y$ を関数とする。$Y$ の部分集合 $B$ に対して、$f$ の逆像 $f^{-1}(B)$ は次のように定義される。

$f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}$

つまり、$f^{-1}(B)$ は、$f$ によって $B$ に写される $X$ の要素全体の集合である。

(2) $f$ の逆写像:

関数 $f: X \rightarrow Y$ が全単射であるとき、$f$ の逆写像 $f^{-1}: Y \rightarrow X$ が存在する。逆写像 $f^{-1}$ は、任意の $y \in Y$ に対して、$f^{-1}(y) = x$ となる $x \in X$ を対応させる関数である。ただし、$f(x) = y$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $f$ の逆像: $f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}$

(2) $f$ の逆写像: $f^{-1}: Y \rightarrow X$ (ただし、$f$ は全単射) であり、$f^{-1}(y) = x$ (ただし、$f(x) = y$)