2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 + 6a - 3$ について、以下の問いに答えます。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (2) $1 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M + m = -10$ となる $a$ の値を求めます。 (3) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $1 \le x \le 4$ の部分と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 + 6a - 3$ について、以下の問いに答えます。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(2) $1 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M + m = -10$ となる $a$ の値を求めます。

(3) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $1 \le x \le 4$ の部分と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

$f(x) = x^2 - 4x + a^2 + 6a - 3$ を平方完成する。

$f(x) = (x - 2)^2 - 4 + a^2 + 6a - 3$

$f(x) = (x - 2)^2 + a^2 + 6a - 7$

よって、頂点の座標は $(2, a^2 + 6a - 7)$ である。

(2) $1 \le x \le 4$ における最大値 $M$、最小値 $m$ を求める。

頂点の $x$ 座標は $x = 2$ であり、$1 \le x \le 4$ の範囲に含まれる。したがって、$x = 2$ で最小値をとる。

$m = f(2) = a^2 + 6a - 7$

最大値は、$x = 1$ または $x = 4$ でとる。

$f(1) = 1 - 4 + a^2 + 6a - 3 = a^2 + 6a - 6$

$f(4) = 16 - 16 + a^2 + 6a - 3 = a^2 + 6a - 3$

したがって、$M = a^2 + 6a - 3$

$M + m = (a^2 + 6a - 3) + (a^2 + 6a - 7) = 2a^2 + 12a - 10$

$M + m = -10$ より

$2a^2 + 12a - 10 = -10$

$2a^2 + 12a = 0$

$2a(a + 6) = 0$

$a = 0, -6$

(3) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $1 \le x \le 4$ の部分と共有点を持つ条件を求める。

$f(1) \cdot f(2) \le 0$ または $f(2) \cdot f(4) \le 0$

$f(1) = a^2 + 6a - 6$

$f(2) = a^2 + 6a - 7$

$f(4) = a^2 + 6a - 3$

判別式を $D$ とすると、$D = (-4)^2 - 4(a^2 + 6a - 3) = 16 - 4a^2 - 24a + 12 = -4a^2 - 24a + 28$

$D \ge 0$

$-4(a^2 + 6a - 7) \ge 0$

$a^2 + 6a - 7 \le 0$

$(a + 7)(a - 1) \le 0$

$-7 \le a \le 1$

$f(1) \le 0$ または $f(4) \le 0$

$a^2 + 6a - 6 \le 0$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$

$-3 - \sqrt{15} \le a \le -3 + \sqrt{15}$

$a^2 + 6a - 3 \le 0$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$

$-3 - 2\sqrt{3} \le a \le -3 + 2\sqrt{3}$

$f(2) \le 0$ の場合、$a^2 + 6a - 7 \le 0$

$(a+7)(a-1) \le 0$

$-7 \le a \le 1$

$f(1)f(4) \le 0$の場合、$(a^2 + 6a - 6)(a^2 + 6a - 3) \le 0$

ここで、$x = a^2+6a$と置くと$(x-6)(x-3) \le 0$

$3 \le x \le 6$

$3 \le a^2+6a \le 6$

$a^2 + 6a -3 \ge 0$ and $a^2 + 6a - 6 \le 0$

$a \le -3-\sqrt{12}$ or $a \ge -3+\sqrt{12}$ and $-3-\sqrt{15} \le a \le -3+\sqrt{15}$

$-7 \le a \le 1$

3. 最終的な答え

(1) $(2, a^2 + 6a - 7)$

(2) $a = 0, -6$

(3) $-7 \le a \le 1$