この問題は、与えられた行列の固有値を求める問題です。具体的には、以下の2つの行列の固有値を求めます。 (1) $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ また、問題13-2では、問題13-1(1)で求めた行列Aの固有値に対する固有ベクトルを求める必要があります。

1. 問題の内容

この問題は、与えられた行列の固有値を求める問題です。具体的には、以下の2つの行列の固有値を求めます。

(1) $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

また、問題13-2では、問題13-1(1)で求めた行列Aの固有値に対する固有ベクトルを求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 行列Aの固有値を求める

固有値を求めるには、特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。ここで、$\lambda$ は固有値、Iは単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (3-\lambda)^2 - 1 = 0$

$(3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 9 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0$

$(\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$

したがって、固有値は $\lambda = 2, 4$ です。

(2) 行列Bの固有値を求める

同様に、特性方程式 $|B - \lambda I| = 0$ を解きます。

$B - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 3 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}$

$|B - \lambda I| = (1-\lambda)[(3-\lambda)^2 - 9] = (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda) = 0$

$(1-\lambda)\lambda(\lambda - 6) = 0$

したがって、固有値は $\lambda = 0, 1, 6$ です。

3. 最終的な答え

(1) 行列Aの固有値: 2, 4

(2) 行列Bの固有値: 0, 1, 6