行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値に対する固有ベクトルを求める。問題文から、行列 $A$ の固有値は問題13-1(1)で求められているものとする。ここでは、固有値が既知であるとして、固有ベクトルを求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値に対する固有ベクトルを求める。問題文から、行列 $A$ の固有値は問題13-1(1)で求められているものとする。ここでは、固有値が既知であるとして、固有ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求める必要がある。

固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。ここで、$I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表す。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix}$

したがって、固有方程式は

$|A - \lambda I| = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = 4$ である。

次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求める。

固有値 $\lambda_1 = 2$ の場合、$(A - \lambda_1 I) \mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$ を解く。ここで、$\mathbf{v}_1$ は固有ベクトルを表す。

$(A - 2I) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より、$y = -x$。したがって、$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ （またはその定数倍）

固有値 $\lambda_2 = 4$ の場合、$(A - \lambda_2 I) \mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$ を解く。ここで、$\mathbf{v}_2$ は固有ベクトルを表す。

$(A - 4I) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + y = 0$ より、$y = x$。したがって、$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ （またはその定数倍）

3. 最終的な答え

固有値2に対する固有ベクトル：$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)

固有値4に対する固有ベクトル：$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)