与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

この数列は、初項 $\frac{2}{15}$、公比 $\frac{1}{15}$ の等比数列の和である。等比数列の和の公式を利用する。

等比数列の和の公式は、初項 $a$、公比 $r$ (ただし $r \neq 1$)、項数 $n$ のとき、以下のようになる。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

この問題の場合、$a = \frac{2}{15}$, $r = \frac{1}{15}$ なので、

$S_n = \frac{\frac{2}{15}(1-(\frac{1}{15})^n)}{1-\frac{1}{15}} = \frac{\frac{2}{15}(1-\frac{1}{15^n})}{\frac{14}{15}} = \frac{2}{15} \cdot \frac{15}{14} (1-\frac{1}{15^n}) = \frac{1}{7}(1-\frac{1}{15^n})$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{7}(1-\frac{1}{15^n})$