$(x+4)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。選択肢の中から正しい答えを選びます。もし選択肢に正しい答えがない場合は、選択肢5を選びます。

1. 問題の内容

$(x+4)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。選択肢の中から正しい答えを選びます。もし選択肢に正しい答えがない場合は、選択肢5を選びます。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(x+4)^4$ の展開式を考えます。二項定理によれば、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

です。

この問題の場合、$a = x$, $b = 4$, $n = 4$ です。$x^3$ の係数を求めたいので、$x^{n-k}=x^3$ となる $k$ を探します。つまり、$4-k=3$ より、$k=1$ となります。

したがって、$x^3$ の項は、

$\binom{4}{1} x^{4-1} 4^1 = \binom{4}{1} x^3 \cdot 4 = 4 \cdot x^3 \cdot 4 = 16x^3$

となります。

よって、$x^3$ の係数は $16$ です。

3. 最終的な答え

16

選択肢1が正解です。