与えられた複数の式を因数分解する問題です。 問題9 (1) $x^2 + 14x + 49$ (2) $a^2 - 6a + 9$ (3) $81 - 18x + x^2$ (4) $x^2 - 10xy + 25y^2$ (5) $4p^2 + 12pq + 9q^2$ (6) $x^2 - x + \frac{1}{4}$ 問題10 (1) $x^2 - 100$ (2) $49a^2 - 1$ (3) $x^2 - 16y^2$

1. 問題の内容

与えられた複数の式を因数分解する問題です。

問題9

(1) $x^2 + 14x + 49$

(2) $a^2 - 6a + 9$

(3) $81 - 18x + x^2$

(4) $x^2 - 10xy + 25y^2$

(5) $4p^2 + 12pq + 9q^2$

(6) $x^2 - x + \frac{1}{4}$

問題10

(1) $x^2 - 100$

(2) $49a^2 - 1$

(3) $x^2 - 16y^2$

2. 解き方の手順

問題9

(1) これは $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ の形なので、

$x^2 + 14x + 49 = x^2 + 2 \cdot 7 \cdot x + 7^2 = (x+7)^2$

(2) これは $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形なので、

$a^2 - 6a + 9 = a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + 3^2 = (a-3)^2$

(3) これは $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形を並び替えたものなので、

$81 - 18x + x^2 = x^2 - 18x + 81 = x^2 - 2 \cdot 9 \cdot x + 9^2 = (x-9)^2$

(4) これは $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ の形なので、

$x^2 - 10xy + 25y^2 = x^2 - 2 \cdot 5y \cdot x + (5y)^2 = (x-5y)^2$

(5) これは $(ax+by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2$ の形なので、

$4p^2 + 12pq + 9q^2 = (2p)^2 + 2 \cdot 2p \cdot 3q + (3q)^2 = (2p+3q)^2$

(6) これは $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ の形なので、

$x^2 - x + \frac{1}{4} = x^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x + (\frac{1}{2})^2 = (x-\frac{1}{2})^2$

問題10

(1) これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形なので、

$x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x+10)(x-10)$

(2) これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形なので、

$49a^2 - 1 = (7a)^2 - 1^2 = (7a+1)(7a-1)$

(3) これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形なので、

$x^2 - 16y^2 = x^2 - (4y)^2 = (x+4y)(x-4y)$

3. 最終的な答え

問題9

(1) $(x+7)^2$

(2) $(a-3)^2$

(3) $(x-9)^2$

(4) $(x-5y)^2$

(5) $(2p+3q)^2$

(6) $(x-\frac{1}{2})^2$

問題10

(1) $(x+10)(x-10)$

(2) $(7a+1)(7a-1)$

(3) $(x+4y)(x-4y)$