正の数 $x, y, z$ が以下の3つの条件を満たすとき、次の問いに答えよ。 * $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{7}{4}$ * $x^2 + y^2 + z^2 = 21$ * $xyz = 8$ (1) $xy + yz + zx$ の値を求めよ。 (2) $x + y + z$ の値を求めよ。 (3) $x \le y \le z$ であるとき、$x, y, z$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

正の数 $x, y, z$ が以下の3つの条件を満たすとき、次の問いに答えよ。

* $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{7}{4}$

* $x^2 + y^2 + z^2 = 21$

* $xyz = 8$

(1) $xy + yz + zx$ の値を求めよ。

(2) $x + y + z$ の値を求めよ。

(3) $x \le y \le z$ であるとき、$x, y, z$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 条件 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{7}{4}$ の両辺に $xyz$ をかけると、

$yz + zx + xy = \frac{7}{4}xyz$

条件 $xyz=8$ を代入すると、

$xy + yz + zx = \frac{7}{4} \times 8 = 14$

(2) $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)$ の関係を利用する。

$x^2 + y^2 + z^2 = 21$ と $xy + yz + zx = 14$ を代入すると、

$(x+y+z)^2 = 21 + 2 \times 14 = 21 + 28 = 49$

$x, y, z$ は正の数なので、$x+y+z > 0$ であるから、

$x + y + z = \sqrt{49} = 7$

(3) $x, y, z$ は $t$ の3次方程式 $t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$ の解である。

$x+y+z = 7$, $xy+yz+zx = 14$, $xyz = 8$ を代入すると、

$t^3 - 7t^2 + 14t - 8 = 0$

$(t-1)(t^2 - 6t + 8) = 0$

$(t-1)(t-2)(t-4) = 0$

したがって、$t = 1, 2, 4$

$x \le y \le z$ であるから、$x=1, y=2, z=4$

3. 最終的な答え

(1) $xy + yz + zx = 14$

(2) $x + y + z = 7$

(3) $x=1, y=2, z=4$