2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ が $\alpha$ と $\beta$ を解にもつとき、係数 $a, b$ の値を求め、さらにこの3次方程式のもう1つの解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ が $\alpha$ と $\beta$ を解にもつとき、係数 $a, b$ の値を求め、さらにこの3次方程式のもう1つの解を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係を利用する。$\alpha$ と $\beta$ は $x^2 - x - 1 = 0$ の解なので、

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\alpha + \beta = 1

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\alpha \beta = -1

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である。

次に、$\alpha$ と $\beta$ が $x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ の解であることから、

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\alpha^3 + a\alpha^2 + b\alpha + 1 = 0

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\beta^3 + a\beta^2 + b\beta + 1 = 0

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が成り立つ。

$\alpha$ と $\beta$ は $x^2 = x + 1$ を満たすので、$\alpha^3 = \alpha(x^2) = \alpha(x+1) = \alpha^2 + \alpha = (\alpha+1) + \alpha = 2\alpha + 1$。同様に$\beta^3 = 2\beta+1$。

よって、

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2\alpha + 1 + a\alpha^2 + b\alpha + 1 = 0 \\

2\alpha + 1 + a(\alpha+1) + b\alpha + 1 = 0 \\

(2+a+b)\alpha + a+2 = 0

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2\beta + 1 + a\beta^2 + b\beta + 1 = 0 \\

2\beta + 1 + a(\beta+1) + b\beta + 1 = 0 \\

(2+a+b)\beta + a+2 = 0

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2つの式を引き算すると、

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(2+a+b)(\alpha-\beta)=0

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$\alpha \ne \beta$なので、$2+a+b=0$。よって$a+b = -2$。

$(2+a+b)\alpha + a+2 = 0$に$a+b = -2$を代入すると、$a+2=0$なので、$a=-2$。

$a+b = -2$に$a=-2$を代入すると、$-2+b=-2$なので、$b=0$。

したがって、$a = -2$, $b = 0$。

3次方程式は、$x^3 - 2x^2 + 1 = 0$となる。

$\alpha, \beta$を解に持つので、$(x-\alpha)(x-\beta) = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = x^2 - x - 1$ で割ることができる。

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x^3 - 2x^2 + 1 = (x^2-x-1)(x-1) = 0

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したがって、もう一つの解は $x=1$。

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 0$

もう1つの解は $1$