与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

この数列の和を求めるには、等比数列の和の公式を変形して利用する方法が有効です。

まず、与えられた和 $S$ を書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

次に、$S$ に公比である $3$ をかけた $3S$ を計算します。この時、$S$ の各項の次数を揃えるようにずらして書きます。

$3S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$

$S$ から $3S$ を引きます。

$S - 3S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n)$

$-2S = 1 + (2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) + (3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3^2) + \cdots + (n \cdot 3^{n-1} - (n-1) \cdot 3^{n-1}) - n \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

ここで、$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}$ は初項 $1$、公比 $3$、項数 $n$ の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を用いて計算できます。等比数列の和の公式は以下の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

この式に $a=1, r=3$ を代入すると、

$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$S = -\frac{1}{2} (\frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n)$

$S = -\frac{3^n - 1}{4} + \frac{n \cdot 3^n}{2}$

$S = \frac{2n \cdot 3^n - 3^n + 1}{4}$

$S = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$