3次方程式 $x^3 - 2x^2 + 3x - 7 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ (2) $\alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2$ (3) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 2x^2 + 3x - 7 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$

(2) $\alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$

2. 解き方の手順

3次方程式 $x^3 - 2x^2 + 3x - 7 = 0$ の解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = 2$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 3$

$\alpha \beta \gamma = 7$

(1) $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (2)^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$

(2) $(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = \alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2 + 2(\alpha \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma^2 + \alpha^2 \beta \gamma)$

$\alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2 = (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 - 2\alpha \beta \gamma (\alpha + \beta + \gamma)$

$\alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2 = (3)^2 - 2(7)(2) = 9 - 28 = -19$

(3) $\alpha, \beta, \gamma$ は $x^3 - 2x^2 + 3x - 7 = 0$ の解であるから、

$\alpha^3 - 2\alpha^2 + 3\alpha - 7 = 0$

$\beta^3 - 2\beta^2 + 3\beta - 7 = 0$

$\gamma^3 - 2\gamma^2 + 3\gamma - 7 = 0$

よって、

$\alpha^3 = 2\alpha^2 - 3\alpha + 7$

$\beta^3 = 2\beta^2 - 3\beta + 7$

$\gamma^3 = 2\gamma^2 - 3\gamma + 7$

したがって、

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 3(\alpha + \beta + \gamma) + 21$

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 2(-2) - 3(2) + 21 = -4 - 6 + 21 = 11$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = -2$

(2) $\alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2 = -19$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 11$