$x^{2025}$ を $x^2 - x + 1$ で割ったときの余りを求める問題です。選択肢は以下の通りです。 (1) -1 (2) 1 (3) x-1 (4) -x+1

1. 問題の内容

$x^{2025}$ を $x^2 - x + 1$ で割ったときの余りを求める問題です。選択肢は以下の通りです。

(1) -1

(2) 1

(3) x-1

(4) -x+1

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - x + 1 = 0$ の解を考えます。この方程式の解は、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

となります。

ここで、$x = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ とすると、$x = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = e^{i\pi/3}$ と表すことができます。

同様に、$x = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$ とすると、$x = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}) = e^{-i\pi/3}$ と表すことができます。

どちらの解でも、$x^2 - x + 1 = 0$ より $x^2 = x - 1$ が成り立ちます。

$x^{2025} = (x^6)^{337} \cdot x^3$ と変形できます。

$x = e^{i\pi/3}$ のとき、$x^6 = e^{i2\pi} = 1$ となります。

したがって、$x^{2025} = (x^6)^{337} \cdot x^3 = 1^{337} \cdot x^3 = x^3$

$x^3 = (e^{i\pi/3})^3 = e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$ となります。

$x^{2025}$ を $x^2 - x + 1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax + b$ とすると、

$x^{2025} = (x^2 - x + 1)Q(x) + ax + b$ と表すことができます。

$x = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 - x + 1 = 0$ なので、$x^{2025} = ax + b$ となります。

上で求めたように、$x^{2025} = -1$ なので、$ax + b = -1$ となります。

したがって、$a(\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}) + b = -1$ となります。

$\frac{a}{2} + b + i\frac{a\sqrt{3}}{2} = -1$

実部と虚部を比較すると、$\frac{a}{2} + b = -1$ かつ $\frac{a\sqrt{3}}{2} = 0$ となります。

$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 0$ より、$a = 0$ となります。

$\frac{a}{2} + b = -1$ に $a = 0$ を代入すると、$b = -1$ となります。

したがって、余りは $ax + b = 0x - 1 = -1$ となります。

3. 最終的な答え

-1