2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAとします。 (1) グラフAを平行移動して、原点を通り、最小値が-18となるようにするには、どのように平行移動すればよいか。 (2) グラフAをある点について対称移動して、軸がy軸と一致し、点(3, 0)を通るようにするには、どの点について対称移動すればよいか。 (3) グラフAと直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAとします。

(1) グラフAを平行移動して、原点を通り、最小値が-18となるようにするには、どのように平行移動すればよいか。

(2) グラフAをある点について対称移動して、軸がy軸と一致し、点(3, 0)を通るようにするには、どの点について対称移動すればよいか。

(3) グラフAと直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、グラフAの頂点の座標を求めます。

$y = 2x^2 + 8x + 12 = 2(x^2 + 4x) + 12 = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 12 = 2(x + 2)^2 - 8 + 12 = 2(x + 2)^2 + 4$

グラフAの頂点は $(-2, 4)$ です。

平行移動後のグラフは原点を通るので、 $y=2x^2+bx+c$ とおくと、原点を通ることから $c=0$ である。

平行移動後のグラフの最小値が-18なので $y=2(x-p)^2 -18$ とおける。

原点を通ることから $2p^2-18=0$。よって $p^2 = 9$ なので $p = \pm 3$ である。

したがって、平行移動後のグラフは $y=2(x-3)^2 -18$ または $y=2(x+3)^2 -18$ である。

頂点が $(-2, 4)$ から、$(3, -18)$ に移動するとすると、

$x$軸方向に $3-(-2)=5$、$y$軸方向に $-18-4 = -22$ だけ平行移動すればよい。

頂点が $(-2, 4)$ から、 $(-3, -18)$ に移動するとすると、

$x$軸方向に $-3-(-2)=-1$、$y$軸方向に $-18-4 = -22$ だけ平行移動すればよい。

$y = 2(x-3)^2 - 18 = 2(x^2 - 6x + 9) - 18 = 2x^2 - 12x$. 原点を通る。

$y = 2(x+3)^2 - 18 = 2(x^2 + 6x + 9) - 18 = 2x^2 + 12x$. 原点を通る。

求める平行移動は、$x$軸方向に5, $y$軸方向に-22平行移動または、$x$軸方向に-1, $y$軸方向に-22平行移動である。

$y = 2x^2 -12x$ が原点を通り最小値-18となるグラフではない。

$y = 2x^2+12x$ が原点を通り最小値-18となるグラフではない。

平行移動後のグラフが原点を通るので、$y=ax^2+bx$とおける。最小値が-18なので、頂点のy座標が-18になる。

$y=2x^2+bx$ の頂点のx座標は $-\frac{b}{4}$なので、頂点のy座標は $2(-\frac{b}{4})^2+b(-\frac{b}{4}) = \frac{b^2}{8} - \frac{b^2}{4} = -\frac{b^2}{8}$

$-\frac{b^2}{8} = -18$ より $b^2 = 144$ よって、$b = \pm 12$

$y = 2x^2+12x$ の頂点のx座標は $-3$ なので、頂点の座標は $(-3, -18)$

$y = 2x^2-12x$ の頂点のx座標は $3$ なので、頂点の座標は $(3, -18)$

よって、グラフAの頂点$(-2, 4)$を$(-3, -18)$または$(3, -18)$に移せば良い。

$x$軸方向に-1、$y$軸方向に-22、または、$x$軸方向に5、$y$軸方向に-22 だけ平行移動すればよい。

(2)

グラフAの軸は $x = -2$ です。軸がy軸（$x = 0$）になるように対称移動するので、対称の中心のx座標は $(-2 + 0)/2 = -1$ となります。

$x=-1$のとき、グラフAのy座標は $y = 2(-1)^2 + 8(-1) + 12 = 2 - 8 + 12 = 6$。

対称の中心を $(-1, b)$ とすると、グラフA上の点 $(3, 0)$ が対称移動後にグラフ上にあるためには、

対称移動後のグラフも点 $(3, 0)$ を通る必要があります。

グラフAを点 $(-1,b)$ に関して対称移動させたグラフは、元のグラフ上の点 $(x, y)$ が点 $(-1, b)$ を中心に $(x', y')$ に移動したとすると、

$x' = -2 - x$, $y' = 2b - y$ となるので、$x = -2 - x'$, $y = 2b - y'$

これを $y = 2x^2 + 8x + 12$ に代入すると、$2b - y' = 2(-2-x')^2 + 8(-2-x') + 12$

$2b - y' = 2(4 + 4x' + x'^2) - 16 - 8x' + 12 = 8 + 8x' + 2x'^2 - 16 - 8x' + 12 = 2x'^2 + 4$

$y' = -2x'^2 + 2b - 4$

このグラフが点 $(3, 0)$ を通ることから、 $0 = -2(3^2) + 2b - 4$

$0 = -18 + 2b - 4$, $2b = 22$, $b = 11$

したがって、対称の中心は $(-1, 11)$ です。

(3)

グラフAと直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めます。

$2x^2 + 8x + 12 = 4x + 10$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

$y = 4(-1) + 10 = -4 + 10 = 6$

共有点の座標は $(-1, 6)$ です。

3. 最終的な答え

(1) x軸方向に-1, y軸方向に-22平行移動 または、x軸方向に5, y軸方向に-22平行移動

(2) 対称の中心：(-1, 11)

(3) 共有点の座標：(-1, 6)