1の3乗根のうち、虚数であるものを$\omega$とするとき、以下の値を求める問題です。 * $\omega^2 + \omega$ * $\omega^{10} + \omega^5$ * $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$ * $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$

1. 問題の内容

1の3乗根のうち、虚数であるものを$\omega$とするとき、以下の値を求める問題です。

* $\omega^2 + \omega$

* $\omega^{10} + \omega^5$

* $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$

* $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$

2. 解き方の手順

$\omega$は1の虚数3乗根なので、以下の性質を持ちます。

* $\omega^3 = 1$

* $1 + \omega + \omega^2 = 0$

(1) $\omega^2 + \omega$

$1 + \omega + \omega^2 = 0$ より、$\omega^2 + \omega = -1$

(2) $\omega^{10} + \omega^5$

$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$

$\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = \omega^2$

よって、$\omega^{10} + \omega^5 = \omega + \omega^2 = -1$

(3) $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$

$\frac{1}{\omega^{10}} = \frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2$

$\frac{1}{\omega^5} = \frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega}{\omega^3} = \omega$

よって、$\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$

(4) $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$

$\omega^2 + 5\omega = (\omega^2 + \omega) + 4\omega = -1 + 4\omega$

$5\omega^2 + \omega = 5\omega^2 + \omega + 5 - 5 = 5(\omega^2 + 1) + \omega - 5 = 5(-\omega) + \omega - 5 = -4\omega -5$

$(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2 = (-1 + 4\omega)^2 + (-5 - 4\omega)^2$

$= (1 - 8\omega + 16\omega^2) + (25 + 40\omega + 16\omega^2)$

$= 26 + 32\omega + 32\omega^2 = 26 + 32(\omega + \omega^2) = 26 + 32(-1) = 26 - 32 = -6$

3. 最終的な答え

* $\omega^2 + \omega = -1$

* $\omega^{10} + \omega^5 = -1$

* $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = 0$

* $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2 = -6$