数列 $\{a_n\}$ が $p, q, p, q, \dots$ というように $p$ と $q$ が交互に並ぶ数列であるとき、一般項 $a_n$ を $p$ と $q$ を用いた式で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $p, q, p, q, \dots$ というように $p$ と $q$ が交互に並ぶ数列であるとき、一般項 $a_n$ を $p$ と $q$ を用いた式で表す。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の項は、奇数番目の項が $p$、偶数番目の項が $q$ となっています。

したがって、$n$ が奇数のとき $a_n = p$、$n$ が偶数のとき $a_n = q$ となります。

これを一般項として表すために、場合分けを利用します。

$n$ が奇数のとき、$n = 2k-1$ ($k$ は自然数) と表せるので、

$a_{2k-1} = p$

$n$ が偶数のとき、$n = 2k$ ($k$ は自然数) と表せるので、

$a_{2k} = q$

これを一つの式で表すために、次のように記述できます。

$a_n = \begin{cases} p & (n \text{ が奇数のとき}) \\ q & (n \text{ が偶数のとき}) \end{cases}$

または、三角関数を用いると以下のようにも表すことができます。

$a_n = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}(-1)^{n+1}$

3. 最終的な答え

$a_n = \begin{cases} p & (n \text{ が奇数のとき}) \\ q & (n \text{ が偶数のとき}) \end{cases}$

または

$a_n = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}(-1)^{n+1}$