連立方程式 $x^2y + xy^2 = 2$ $x+y+xy=3$ を解く問題です。

1. 問題の内容

連立方程式

$x^2y + xy^2 = 2$

$x+y+xy=3$

を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を変形します。

1つ目の式は、$xy$でくくることができます。

$xy(x+y) = 2$

2つ目の式は、そのまま使います。

$x+y+xy=3$

ここで、$x+y = s$、$xy = t$ とおくと、連立方程式は次のようになります。

$ts = 2$

$s+t=3$

2つ目の式より、$s = 3-t$ となります。これを1つ目の式に代入します。

$t(3-t) = 2$

$3t - t^2 = 2$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

$(t-1)(t-2) = 0$

したがって、$t = 1$ または $t = 2$ となります。

(1) $t = 1$ のとき、$s = 3-t = 3-1 = 2$ となります。

$x+y = 2$、$xy = 1$ です。

$y = 2-x$ を $xy=1$ に代入すると、

$x(2-x) = 1$

$2x - x^2 = 1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

このとき、$y = 2-1 = 1$ となります。

(2) $t = 2$ のとき、$s = 3-t = 3-2 = 1$ となります。

$x+y = 1$、$xy = 2$ です。

$y = 1-x$ を $xy=2$ に代入すると、

$x(1-x) = 2$

$x - x^2 = 2$

$x^2 - x + 2 = 0$

この2次方程式の判別式は $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$ なので、実数解を持ちません。

したがって、解は $x=1, y=1$ のみです。

3. 最終的な答え

x=1, y=1