## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

複素数平面上に異なる3点 $z$, $z^2$, $z^3$ がある。

(1) $z$, $z^2$, $z^3$ が同一直線上にあるような $z$ をすべて求めよ。

(2) $z$, $z^2$, $z^3$ が二等辺三角形の頂点になるような $z$ の全体を複素数平面上に図示せよ。また、$z$, $z^2$, $z^3$ が正三角形の頂点になるような $z$ をすべて求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1) $z$, $z^2$, $z^3$ が同一直線上にある条件**

3つの異なる複素数 $z_1, z_2, z_3$ が同一直線上にあるための条件は、それらの偏角の差が0または$\pi$の整数倍であること、またはそれらの共線条件の実部が0であること、すなわち、

$\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ が実数となることです。

今回は、$\frac{z^3 - z}{z^2 - z} = \frac{z(z^2 - 1)}{z(z - 1)} = \frac{z(z - 1)(z + 1)}{z(z - 1)} = z + 1$ が実数となる条件を考えます。

$z + 1$ が実数であるとき、$z$ の虚部が0である必要があります。つまり、$z$ は実数です。

$z$, $z^2$, $z^3$ は異なるとあるので、$z \ne 0, 1$ となります。

また、$z^2 = z$ のとき $z = 1$, $z^3 = z^2$ のとき $z = 1$ となるので、$z \ne 1$ となります。

従って、$z$ は実数であり、$z \ne 0, 1$ を満たします。

**(2) $z$, $z^2$, $z^3$ が二等辺三角形の頂点になる条件**

$z$, $z^2$, $z^3$ が二等辺三角形の頂点となるのは、以下のいずれかが成り立つときです。

1. $|z - z^2| = |z^2 - z^3|$

2. $|z - z^2| = |z^3 - z|$

3. $|z^2 - z^3| = |z^3 - z|$

* **

1. $|z - z^2| = |z^2 - z^3|$ の場合**

$|z(1 - z)| = |z^2(1 - z)|$

$|z| |1 - z| = |z|^2 |1 - z|$

$|z| |1 - z| (1 - |z|) = 0$

$z \ne 0, 1$ より $|z| = 1$

* **

2. $|z - z^2| = |z^3 - z|$ の場合**

$|z(1 - z)| = |z(z^2 - 1)|$

$|1 - z| = |(z - 1)(z + 1)|$

$|1 - z| = |z - 1| |z + 1|$

$|1 - z| (1 - |z + 1|) = 0$

$z \ne 1$ より $|z + 1| = 1$

* **

3. $|z^2 - z^3| = |z^3 - z|$ の場合**

$|z^2(1 - z)| = |z(z^2 - 1)|$

$|z| |z(1 - z)| = |z(z - 1)(z + 1)|$

$|z| |1 - z| = |z - 1| |z + 1|$

$|z| = |z + 1|$

**正三角形になる条件**

正三角形になるための条件は、$|z| = |z+1| = 1$

$|z|=1$ より、$z = cos\theta + i sin\theta$ とおくことができる。

$|z+1| = 1$ より、$|(cos\theta+1) + isin\theta| = 1$

$(cos\theta+1)^2 + sin^2\theta = 1$

$cos^2\theta+2cos\theta+1 + sin^2\theta = 1$

$2cos\theta + 2 = 1$

$cos\theta = -1/2$

$\theta = 2\pi/3, 4\pi/3$

$z = -1/2 + i \sqrt{3}/2, -1/2 - i \sqrt{3}/2$

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3. 最終的な答え

(1) $z$ は $0, 1$ 以外の実数

(2) $z$ は $|z| = 1$ または $|z + 1| = 1$ または $|z|=|z+1|$ を満たす。

$z$ が正三角形の頂点となるのは $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ のとき。