複素数 $x$ が $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$ を満たすとき、$x + \frac{1}{x} = t$ とおく。$t$ が満たす2次方程式を求め、これを用いて元の4次方程式の解を複素数の範囲ですべて求める。

1. 問題の内容

複素数 $x$ が $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$ を満たすとき、$x + \frac{1}{x} = t$ とおく。$t$ が満たす2次方程式を求め、これを用いて元の4次方程式の解を複素数の範囲ですべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた4次方程式を $x^2$ で割る（$x=0$は解ではないので割ってよい）。

$\frac{x^4}{x^2} - \frac{2x^3}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0$

$x^2 - 2x - 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

(2) 式を整理する。

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

(3) $t = x + \frac{1}{x}$ より、$t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ であるから、$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ となる。これを代入する。

$(t^2 - 2) - 2t - 1 = 0$

(4) $t$ の2次方程式を整理する。

$t^2 - 2t - 3 = 0$

(5) $t$ の2次方程式を解く。

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

(6) $x + \frac{1}{x} = t$ より、$x^2 - tx + 1 = 0$ となる。

(7) $t = 3$ のとき、$x^2 - 3x + 1 = 0$ を解く。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(8) $t = -1$ のとき、$x^2 + x + 1 = 0$ を解く。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$t$ の満たす2次方程式は $t^2 - 2t - 3 = 0$ である。

元の4次方程式の解は $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ である。