$a > 0$ のとき、$\frac{4}{a} + a - 3$ の最小値を求め、その最小値を与える $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$\frac{4}{a} + a - 3$ の最小値を求め、その最小値を与える $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を利用します。

$a > 0$ であるから、$\frac{4}{a} > 0$ かつ $a > 0$ です。

相加平均・相乗平均の関係より、

$$\frac{\frac{4}{a} + a}{2} \geq \sqrt{\frac{4}{a} \cdot a} = \sqrt{4} = 2$$

したがって、

$$\frac{4}{a} + a \geq 4$$

よって、

$$\frac{4}{a} + a - 3 \geq 4 - 3 = 1$$

等号が成立するのは、$\frac{4}{a} = a$ のとき、つまり $a^2 = 4$ のときです。

$a > 0$ より、$a = 2$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2$ のとき最小値 $1$ をとる。