2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の係数 $a$, $b$, $c$ が次の条件を満たすとき、$a$, $b$, $c$ の組は何組あるか。 * 条件1: $a$, $b$, $c$ は互いに異なる。 * 条件2: $a$, $b$, $c$ は-3以上5以下の整数である。 * グラフは原点を通る。 * 頂点が第1象限または第3象限にある。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の係数 $a$, $b$, $c$ が次の条件を満たすとき、$a$, $b$, $c$ の組は何組あるか。

* 条件1: $a$, $b$, $c$ は互いに異なる。

* 条件2: $a$, $b$, $c$ は-3以上5以下の整数である。

* グラフは原点を通る。

* 頂点が第1象限または第3象限にある。

2. 解き方の手順

まず、グラフが原点を通ることから、$c = 0$ である。

条件1より、$a \neq b$ かつ $a \neq 0$ かつ $b \neq 0$。

条件2より、$a, b \in \{-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 \}$。

次に、頂点の座標を求める。

$y = ax^2 + bx = a(x^2 + \frac{b}{a}x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}$

よって、頂点の座標は $(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a})$ である。

頂点が第1象限または第3象限にあるためには、$x$座標と$y$座標の符号が一致する必要がある。つまり、

$-\frac{b}{2a} > 0$ かつ $-\frac{b^2}{4a} > 0$ または $-\frac{b}{2a} < 0$ かつ $-\frac{b^2}{4a} < 0$

$-\frac{b^2}{4a}$ の符号は $a$ の符号によって決まる。

$a > 0$ のとき、 $-\frac{b^2}{4a} < 0$ であるから、 $-\frac{b}{2a} < 0$ が必要。よって、$b > 0$。

$a < 0$ のとき、 $-\frac{b^2}{4a} > 0$ であるから、 $-\frac{b}{2a} > 0$ が必要。よって、$b < 0$。

したがって、$a$ と $b$ は同じ符号を持つ必要がある。

可能な組み合わせは以下の通り。

* $a > 0$, $b > 0$: $(a, b) = (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)$。このとき、$c=0$ であり、$a, b$ は $0$ ではないので、条件を満たす。$20$通り。

* $a < 0$, $b < 0$: $(a, b) = (-1, -2), (-1, -3), (-2, -1), (-2, -3), (-3, -1), (-3, -2)$。このとき、$c=0$ であり、$a, b$ は $0$ ではないので、条件を満たす。$6$通り。

よって、合計で $20 + 6 = 26$ 組存在する。

3. 最終的な答え

26 組