ある等差数列 $\{a_n\}$ において、 $a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} = 365$ $a_{15} + a_{17} + a_{19} = -6$ が成り立つとき、以下の問いに答える。 (1) この等差数列の初項と公差を求めよ。 (2) この等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

ある等差数列 $\{a_n\}$ において、

$a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} = 365$

$a_{15} + a_{17} + a_{19} = -6$

が成り立つとき、以下の問いに答える。

(1) この等差数列の初項と公差を求めよ。

(2) この等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の初項を $a$、公差を $d$ とすると、$a_n = a + (n-1)d$ と表せる。

与えられた条件から、以下の式が成り立つ。

$a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} = (a+9d) + (a+10d) + (a+11d) + (a+12d) + (a+13d) = 5a + 55d = 365$

$a_{15} + a_{17} + a_{19} = (a+14d) + (a+16d) + (a+18d) = 3a + 48d = -6$

上記の2つの式を整理すると、

$a + 11d = 73$

$a + 16d = -2$

2つの式を引き算すると、

$-5d = 75$

$d = -15$

$a + 11d = 73$ に $d = -15$ を代入すると、

$a + 11(-15) = 73$

$a - 165 = 73$

$a = 238$

(2)

等差数列の和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(238) + (n-1)(-15)) = \frac{n}{2}(476 - 15n + 15) = \frac{n}{2}(-15n + 491)$

$S_n = \frac{-15n^2 + 491n}{2}$

$S_n$ が最大となる $n$ を求めるために、 $S_n$ を $n$ で微分する。

$S_n' = \frac{-30n + 491}{2}$

$S_n' = 0$ となる $n$ は、

$-30n + 491 = 0$

$n = \frac{491}{30} \approx 16.37$

$n$ は整数なので、$n=16$ または $n=17$ の時に $S_n$ が最大となる可能性がある。

$S_{16} = \frac{16}{2}(-15(16) + 491) = 8(-240 + 491) = 8(251) = 2008$

$S_{17} = \frac{17}{2}(-15(17) + 491) = \frac{17}{2}(-255 + 491) = \frac{17}{2}(236) = 17(118) = 2006$

したがって、$S_{16} > S_{17}$ であるから、$S_n$ の最大値は $S_{16} = 2008$ である。

3. 最終的な答え

(1) 初項: 238, 公差: -15

(2) $S_n$ の最大値: 2008