整式 $P(x)$ を $x-3$ で割ったときの商が $Q(x)$ で、余りが 7 である。 $Q(x)$ を $x-3$ で割ったときの余りが 5 であるとき、$P(x)$ を $(x-3)^2$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x-3$ で割ったときの商が $Q(x)$ で、余りが 7 である。

$Q(x)$ を $x-3$ で割ったときの余りが 5 であるとき、$P(x)$ を $(x-3)^2$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、$P(x)$ を $x-3$ で割ったときの情報から、

$P(x) = (x-3)Q(x) + 7$

と表せる。

次に、$Q(x)$ を $x-3$ で割ったときの情報から、

$Q(x) = (x-3)q(x) + 5$

と表せる ($q(x)$ はある整式)。

これらを組み合わせて、$P(x)$ を書き換える。

$P(x) = (x-3)((x-3)q(x) + 5) + 7$

$P(x) = (x-3)^2 q(x) + 5(x-3) + 7$

$P(x) = (x-3)^2 q(x) + 5x - 15 + 7$

$P(x) = (x-3)^2 q(x) + 5x - 8$

したがって、$P(x)$ を $(x-3)^2$ で割ったときの余りは $5x - 8$ である。

3. 最終的な答え

$5x - 8$