整式 $P(x)$ を $x^2 - 4x + 3$ で割ると余りが $-3x + 1$ であり、$x^2 - 4$ で割ると余りが $x + 4$ である。このとき、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x^2 - 4x + 3$ で割ると余りが $-3x + 1$ であり、$x^2 - 4$ で割ると余りが $x + 4$ である。このとき、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から、以下の式が成り立つ。

$P(x) = (x^2 - 4x + 3)Q_1(x) - 3x + 1$

$P(x) = (x^2 - 4)Q_2(x) + x + 4$

ここで、$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$ および $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ である。

したがって、

$P(1) = -3(1) + 1 = -2$

$P(3) = -3(3) + 1 = -8$

$P(2) = 2 + 4 = 6$

$P(-2) = -2 + 4 = 2$

$P(x)$ を $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ で割ったときの余りを $ax + b$ とすると、

$P(x) = (x^2 - x - 6)Q_3(x) + ax + b$

したがって、

$P(3) = 3a + b = -8$

$P(-2) = -2a + b = 2$

この連立方程式を解く。

$3a + b = -8$

$-2a + b = 2$

上の式から下の式を引くと、

$5a = -10$

$a = -2$

これを $-2a + b = 2$ に代入すると、

$-2(-2) + b = 2$

$4 + b = 2$

$b = -2$

したがって、余りは $-2x - 2$ である。

3. 最終的な答え

$-2x - 2$