与えられた二つの式を満たす有理数 $p$ と $q$ の値を求めます。 式1: $(\sqrt{2}-1)p + q\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$ 式2: $\frac{p}{\sqrt{2}-1} + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$

1. 問題の内容

与えられた二つの式を満たす有理数 $p$ と $q$ の値を求めます。

式1: $(\sqrt{2}-1)p + q\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$

式2: $\frac{p}{\sqrt{2}-1} + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$

2. 解き方の手順

式1から$p$と$q$の関係を求めます。式1を整理すると、

$p\sqrt{2} - p + q\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$

$(p+q)\sqrt{2} - p = 2 + \sqrt{2}$

$\sqrt{2}$の係数と定数項を比較すると、

$p+q = 1$

$-p=2$

よって、$p=-2$

$q = 1-p = 1-(-2) = 3$

次に、式2で$p=-2$, $q=3$が成り立つか確認します。

式2の左辺は、

$\frac{-2}{\sqrt{2}-1} + \frac{3}{\sqrt{2}}$

$= \frac{-2(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{-2(\sqrt{2}+1)}{2-1} + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$= -2\sqrt{2}-2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$= -2 + \frac{-\sqrt{2}}{2} \neq 1$

式2が成り立たないので、式1から得られた$p$と$q$の値が誤りである可能性があります。式1から$q=1-p$であるので、式2に代入してみましょう。

$\frac{p}{\sqrt{2}-1} + \frac{1-p}{\sqrt{2}} = 1$

$\frac{p\sqrt{2} + (1-p)(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)} = 1$

$p\sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 - p\sqrt{2} + p = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$

$\sqrt{2} - 1 + p = 2 - \sqrt{2}$

$p = 3 - 2\sqrt{2}$

この$p$を式1に代入すると、

$(\sqrt{2}-1)(3-2\sqrt{2}) + q\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$

$3\sqrt{2} - 4 - 3 + 2\sqrt{2} + q\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$

$5\sqrt{2} - 7 + q\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$

$(5+q)\sqrt{2} = 9 + \sqrt{2}$

$5+q=1$

$9=0$

矛盾が発生したので、式2を再度確認します。

$\frac{p}{\sqrt{2}-1} + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$

$\frac{p(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} + \frac{q\sqrt{2}}{2} = 1$

$p(\sqrt{2}+1) + \frac{q\sqrt{2}}{2} = 1$

$p\sqrt{2} + p + \frac{q\sqrt{2}}{2} = 1$

$p + (p+\frac{q}{2})\sqrt{2} = 1$

よって、$p=1$

$p + \frac{q}{2} = 0$

$1+\frac{q}{2}=0$

$\frac{q}{2} = -1$

$q = -2$

3. 最終的な答え

$p=1$, $q=-2$