正の実数 $p$ に対して、数列 $\{a_n\}$ が $a_6 - a_2 = p$ と $a_6 + a_2 = \frac{7}{2}p$ を満たす等差数列であるとき、一般項 $a_n$ と $\sum_{n=1}^{60} \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}}$ の値を求める。

## 問題6の解答

1. 問題の内容

正の実数 $p$ に対して、数列 $\{a_n\}$ が $a_6 - a_2 = p$ と $a_6 + a_2 = \frac{7}{2}p$ を満たす等差数列であるとき、一般項 $a_n$ と $\sum_{n=1}^{60} \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を求める。

- 等差数列の性質から、 $a_n = a_1 + (n-1)d$ （$d$ は公差）と表せる。

- 与えられた条件から $a_6 - a_2 = (a_1 + 5d) - (a_1 + d) = 4d = p$ なので、$d = \frac{p}{4}$ である。

- また、$a_6 + a_2 = (a_1 + 5d) + (a_1 + d) = 2a_1 + 6d = \frac{7}{2}p$ である。

- $d = \frac{p}{4}$ を代入すると、$2a_1 + 6 \cdot \frac{p}{4} = \frac{7}{2}p$ より、$2a_1 + \frac{3}{2}p = \frac{7}{2}p$ となる。

- これを解くと、$2a_1 = \frac{4}{2}p = 2p$ なので、$a_1 = p$ である。

- よって、一般項 $a_n = p + (n-1)\frac{p}{4} = p + \frac{np}{4} - \frac{p}{4} = \frac{3p}{4} + \frac{np}{4} = \frac{(n+3)p}{4}$ となる。

(2) $\sum_{n=1}^{60} \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}}$ の値を求める。

- まず、$\frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}}$ を有理化する。

- $\frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n}}{(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}})(\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n})} = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n}}{a_{n+1} - a_n}$

- 等差数列なので、$a_{n+1} - a_n = d = \frac{p}{4}$ である。

- よって、$\frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n}}{\frac{p}{4}} = \frac{4(\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n})}{p}$

- $\sum_{n=1}^{60} \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}} = \sum_{n=1}^{60} \frac{4(\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n})}{p} = \frac{4}{p} \sum_{n=1}^{60} (\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n})$

- これは telescoping sum なので、

- $\frac{4}{p} (\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1} + \sqrt{a_3} - \sqrt{a_2} + \dots + \sqrt{a_{61}} - \sqrt{a_{60}}) = \frac{4}{p} (\sqrt{a_{61}} - \sqrt{a_1})$

- $a_{61} = \frac{(61+3)p}{4} = \frac{64p}{4} = 16p$ であり、$a_1 = p$ である。

- よって、$\frac{4}{p}(\sqrt{16p} - \sqrt{p}) = \frac{4}{p}(4\sqrt{p} - \sqrt{p}) = \frac{4}{p}(3\sqrt{p}) = \frac{12\sqrt{p}}{p} = \frac{12}{\sqrt{p}}$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = \frac{(n+3)p}{4}$

(2) $\sum_{n=1}^{60} \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{12}{\sqrt{p}}$