$a, b$ は定数とする。整式 $x^3 - x^2 + ax + b$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は定数とする。整式 $x^3 - x^2 + ax + b$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ である。

$x^3 - x^2 + ax + b$ が $x^2 + 2x + 1$ で割り切れるので、

$x^3 - x^2 + ax + b = (x^2 + 2x + 1)(x+c)$ と表すことができる。

$(x^2 + 2x + 1)(x+c) = x^3 + 2x^2 + x + cx^2 + 2cx + c = x^3 + (2+c)x^2 + (1+2c)x + c$

係数を比較すると、

$2+c = -1$

$1+2c = a$

$c = b$

$2+c = -1$ より $c = -3$

$1+2c = 1 + 2(-3) = 1 - 6 = -5$ より $a = -5$

$c = b$ より $b = -3$

したがって、$a = -5$, $b = -3$

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = -3$