整式 $P(x)$ があり、以下の条件が与えられています。 * $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りは $5$ * $P(x)$ を $2x^2 + 1$ で割ったときの余りは $-4x+3$ このとき、$P(x)$ を $(x-1)(2x^2 + 1)$ で割ったときの余りを求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ があり、以下の条件が与えられています。

* $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りは $5$

* $P(x)$ を $2x^2 + 1$ で割ったときの余りは $-4x+3$

このとき、$P(x)$ を $(x-1)(2x^2 + 1)$ で割ったときの余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

余りの定理より、$P(1) = 5$ が成り立ちます。

$P(x)$ を $(x-1)(2x^2+1)$ で割ったときの余りを $ax^2 + bx + c$ とおきます。

すると、ある整式 $Q(x)$ を用いて、以下のように表すことができます。

$P(x) = (x-1)(2x^2+1)Q(x) + ax^2 + bx + c$

$P(x)$ を $2x^2 + 1$ で割ったときの余りは $-4x + 3$ であることから、

$ax^2 + bx + c$ を $2x^2 + 1$ で割ったときの余りが $-4x + 3$ になるはずです。

したがって、$ax^2 + bx + c = \frac{a}{2}(2x^2 + 1) + bx + c - \frac{a}{2}$と変形できます。

つまり、$ax^2 + bx + c = a'(2x^2 + 1) -4x + 3$ (a'は定数)の形になり,余りは$-4x+3$となります。

ここで、余りの$ax^2+bx+c$を$2x^2+1$で割ったときの商を$k$とおくと$ax^2+bx+c = k(2x^2+1) + (-4x+3)$と表せます。したがって、$ax^2+bx+c = 2kx^2 - 4x + (k+3)$となります。

すると、$P(x) = (x-1)(2x^2+1)Q(x) + 2kx^2 - 4x + (k+3)$ と書けます。

次に、$P(1) = 5$ を利用します。

$P(1) = (1-1)(2\cdot1^2+1)Q(1) + 2k\cdot1^2 - 4\cdot1 + (k+3) = 5$

$0 + 2k - 4 + k + 3 = 5$

$3k - 1 = 5$

$3k = 6$

$k = 2$

したがって、求める余りは $2k x^2 - 4x + k + 3 = 2\cdot2 x^2 - 4x + 2 + 3 = 4x^2 - 4x + 5$となります。

3. 最終的な答え

求める余りは $4x^2 - 4x + 5$ です。

タ = 4, チ = 4, ツ = 5