2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられています。 $a_n = 2^n$ $b_n = 3n + 2$ （$n=1, 2, 3, ...$） 数列 $\{a_n\}$ の項のうち、数列 $\{b_n\}$ の項でもあるものを小さい順に並べて得られる数列を $\{c_n\}$ とします。 (1) 数列 $\{c_n\}$ の初項から第5項までを求めます。 (2) 数列 $\{c_n\}$ が等比数列であることを示します。

1. 問題の内容

2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられています。

$a_n = 2^n$

$b_n = 3n + 2$ （$n=1, 2, 3, ...$）

数列 $\{a_n\}$ の項のうち、数列 $\{b_n\}$ の項でもあるものを小さい順に並べて得られる数列を $\{c_n\}$ とします。

(1) 数列 $\{c_n\}$ の初項から第5項までを求めます。

(2) 数列 $\{c_n\}$ が等比数列であることを示します。

2. 解き方の手順

(1) まず、$a_n$ と $b_n$ の値をいくつか計算してみます。

$a_1 = 2^1 = 2$

$a_2 = 2^2 = 4$

$a_3 = 2^3 = 8$

$a_4 = 2^4 = 16$

$a_5 = 2^5 = 32$

$a_6 = 2^6 = 64$

$a_7 = 2^7 = 128$

$a_8 = 2^8 = 256$

$a_9 = 2^9 = 512$

$b_1 = 3(1) + 2 = 5$

$b_2 = 3(2) + 2 = 8$

$b_3 = 3(3) + 2 = 11$

$b_4 = 3(4) + 2 = 14$

$b_5 = 3(5) + 2 = 17$

$b_6 = 3(6) + 2 = 20$

$b_7 = 3(7) + 2 = 23$

$b_8 = 3(8) + 2 = 26$

$b_9 = 3(9) + 2 = 29$

$b_{10} = 3(10) + 2 = 32$

$b_{11} = 3(11) + 2 = 35$

$b_{12} = 3(12) + 2 = 38$

$b_{13} = 3(13) + 2 = 41$

$b_{14} = 3(14) + 2 = 44$

$b_{15} = 3(15) + 2 = 47$

$b_{16} = 3(16) + 2 = 50$

$b_{17} = 3(17) + 2 = 53$

$b_{18} = 3(18) + 2 = 56$

$b_{19} = 3(19) + 2 = 59$

$b_{20} = 3(20) + 2 = 62$

$b_{21} = 3(21) + 2 = 65$

$b_{22} = 3(22) + 2 = 68$

$b_{23} = 3(23) + 2 = 71$

$b_{24} = 3(24) + 2 = 74$

$b_{25} = 3(25) + 2 = 77$

$b_{26} = 3(26) + 2 = 80$

$b_{27} = 3(27) + 2 = 83$

$b_{28} = 3(28) + 2 = 86$

$b_{29} = 3(29) + 2 = 89$

$b_{30} = 3(30) + 2 = 92$

$b_{31} = 3(31) + 2 = 95$

$b_{32} = 3(32) + 2 = 98$

数列 $\{a_n\}$ の項のうち、数列 $\{b_n\}$ の項でもあるものを探すと、

$a_n = b_m$ となる $n, m$ を探します。

$2^n = 3m + 2$

$n = 3$ のとき、$a_3 = 8$ で、$b_2 = 8$ なので、一致します。

$n = 5$ のとき、$a_5 = 32$ で、$b_{10} = 32$ なので、一致します。

$n = 7$ のとき、$a_7 = 128 = 3m + 2$ より、$3m = 126$ なので、$m = 42$ となり一致します。

$n = 9$ のとき、$a_9 = 512 = 3m + 2$ より、$3m = 510$ なので、$m = 170$ となり一致します。

$n = 11$ のとき、$a_{11} = 2048 = 3m + 2$ より、$3m = 2046$ なので、$m = 682$ となり一致します。

したがって、数列 $\{c_n\}$ は $8, 32, 128, 512, 2048, ...$ となります。

(2) 数列 $\{c_n\}$ が等比数列であることを示すためには、隣り合う項の比が一定であることを示します。

$\frac{32}{8} = 4$

$\frac{128}{32} = 4$

$\frac{512}{128} = 4$

$\frac{2048}{512} = 4$

数列 $\{c_n\}$ の隣り合う項の比は常に4であるため、数列 $\{c_n\}$ は等比数列です。

数列 $\{c_n\}$ の一般項は $c_n = 8 \cdot 4^{n-1} = 2^3 \cdot (2^2)^{n-1} = 2^{3 + 2n - 2} = 2^{2n+1}$ と表されます。

$2^n = 3m+2$を満たす$n$は$n=2k+1$の形になる。すなわち、$a_{2k+1}$となる。

3. 最終的な答え

(1) 数列 $\{c_n\}$ の初項から第5項までは、$8, 32, 128, 512, 2048$ です。

(2) 数列 $\{c_n\}$ は公比4の等比数列です。