次の式を因数分解してください。 (1) $x^6 - y^6$ (2) $x^3 - 5x^2 - 4x + 20$ (3) $12x^2 + xy - 6y^2 - 31x - 2y + 20$ (4) $a^4 + a^2c - ab^3 + abc + b^2c$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の式を因数分解してください。

(1) $x^6 - y^6$

(2) $x^3 - 5x^2 - 4x + 20$

(3) $12x^2 + xy - 6y^2 - 31x - 2y + 20$

(4) $a^4 + a^2c - ab^3 + abc + b^2c$

2. 解き方の手順

(1) $x^6 - y^6$

これは差の二乗の因数分解と差の三乗の因数分解を利用します。まず、差の二乗で因数分解すると：

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

次に、和と差の三乗の公式を用いて因数分解します。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

したがって

$x^6 - y^6 = (x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2) = (x+y)(x-y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$

(2) $x^3 - 5x^2 - 4x + 20$

これは共通因数を見つけるか、因数定理を利用します。まず、最初の2項と次の2項をグループ化してみましょう。

$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = x^2(x-5) - 4(x-5)$

これで共通因数 $(x-5)$ が現れました。したがって

$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = (x^2 - 4)(x-5)$

さらに、$x^2 - 4$ は差の二乗なので、$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = (x-2)(x+2)(x-5)$

(3) $12x^2 + xy - 6y^2 - 31x - 2y + 20$

これは少し複雑な因数分解です。まず、2次式部分を因数分解します。

$12x^2 + xy - 6y^2 = (4x - 3y)(3x + 2y)$

与えられた式全体が $(4x - 3y + a)(3x + 2y + b)$ の形になると仮定して、展開したときに $-31x - 2y + 20$ となるような $a$ と $b$ を見つけます。

$(4x - 3y + a)(3x + 2y + b) = 12x^2 + 8xy + 4bx - 9xy - 6y^2 - 3by + 3ax + 2ay + ab$

$= 12x^2 + xy - 6y^2 + (4b + 3a)x + (2a - 3b)y + ab$

したがって

$4b + 3a = -31$

$2a - 3b = -2$

$ab = 20$

連立方程式を解くと、$a = -4, b = -5$ となります。

したがって、因数分解は次のようになります。

$12x^2 + xy - 6y^2 - 31x - 2y + 20 = (4x - 3y - 4)(3x + 2y - 5)$

(4) $a^4 + a^2c - ab^3 + abc + b^2c$

この式を整理すると

$a^4 + a^2c - ab^3 + abc + b^2c = a^4 + a^2c + abc - ab^3 + b^2c$

項を適切にグループ化することを試みます。

$a^2(a^2 + c) + b(-ab^2 + ac + bc)$

これは難しい問題です。まず、式を $c$ についてまとめてみます。

$a^4 + (a^2 + b^2 + ab)c - ab^3$

ここで、$a^2 + b^2 + ab = (a-ωb)(a-ω^2b)$、$ω$ は 1 の原始3乗根。

与式は $(a^2+c)(a^2+abc) - ab^3$とはならない気がします。

$a^4 + a^2c - ab^3 + abc + b^2c = a^4 -ab^3+ a^2c + abc + b^2c = a(a^3 - b^3) + c(a^2 + ab + b^2) = a(a-b)(a^2+ab+b^2) + c(a^2+ab+b^2)=(a(a-b)+c)(a^2+ab+b^2) = (a^2-ab+c)(a^2+ab+b^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y)(x-y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$

(2) $(x-2)(x+2)(x-5)$

(3) $(4x - 3y - 4)(3x + 2y - 5)$

(4) $(a^2-ab+c)(a^2+ab+b^2)$