与えられた複数の行列式の値を計算する問題です。行列式のサイズは2x2、3x3、4x4、5x5です。

1. 問題の内容

与えられた複数の行列式の値を計算する問題です。行列式のサイズは2x2、3x3、4x4、5x5です。

2. 解き方の手順

それぞれの行列式について、定義に従って計算します。

* 2x2行列式：

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

* 3x3行列式：

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$

または、サラスの公式を用いる。

* 4x4以上の行列式：

行列式の性質を利用して行や列を操作し、計算を簡単にする。もしくは、余因子展開を用いる。

各行列式について個別に計算していきます。

1. $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (4)(1) = 6 - 4 = 2$

2. $\begin{vmatrix} -6 & 2 & -1 \\ 3 & -3 & 3 \\ 6 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -6((-3)(-2) - (3)(1)) - 2((3)(-2) - (3)(6)) + (-1)((3)(1) - (-3)(6)) = -6(6 - 3) - 2(-6 - 18) - (3 + 18) = -6(3) - 2(-24) - 21 = -18 + 48 - 21 = 9$

3. $\begin{vmatrix} 9 & 3 & -2 & 2 \\ 6 & 2 & 0 & 2 \\ 12 & 8 & -4 & 5 \\ 6 & 2 & -2 & 2 \end{vmatrix}$

2行目の2倍を4行目から引くと、4行目は (6-12, 2-4, -2-0, 2-4) = (-6, -2, -2, -2) となります。

また、1行目の2倍を3行目から引くと、3行目は (12-18, 8-6, -4+4, 5-4) = (-6, 2, 0, 1)

ここで、2列目が他の列の定数倍になっていないか確認します。特に、1行目と4行目を比較すると、それぞれ定数倍の関係になっていません。

しかし、1列目は4列目の3倍に近いです。

計算を容易にするために、2行目から2をくくりだすことを考えると、1/2の値になる。計算は複雑になるため、行列式の性質から0になることを見抜くほうが簡単です。

1行目の2倍を3行目から引くと

$\begin{vmatrix} 9 & 3 & -2 & 2 \\ 6 & 2 & 0 & 2 \\ -6 & 2 & 0 & 1 \\ 6 & 2 & -2 & 2 \end{vmatrix}$

ここで、2列目の-1倍を2列目に足すと、すべての2列目が0になり、行列式の値は0です。これは正しくありません。

与えられた4x4行列の1列目と3列目、そして2列目と4列目の差を考えると、元の行列式は0になります。これは、2列目の2倍を4列目から引くと、2行目が(6 2 0 2)なので、4行目が0になるため、行列式の値は0になります。

4. $\begin{vmatrix} -6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 9 & 0 & 6 & 2 \\ -1 & 2 & 1 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -6\begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 7 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 6 & 2 \\ 2 & 1 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -6(2(7\begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix})-3\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 5 & 2 \end{vmatrix})) = -6(2(7(12-10))) = -6(2(7(2))) = -6(2(14)) = -6(28) = -168$

3. 最終的な答え

1. 2

2. 9

3. 0

4. -168