与えられた複数の行列式の値を計算する問題です。ここでは、問題番号(7)の行列式の値を計算します。 行列式は次の通りです。 $\begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix}$
2025/7/14
1. 問題の内容
与えられた複数の行列式の値を計算する問題です。ここでは、問題番号(7)の行列式の値を計算します。
行列式は次の通りです。
$\begin{vmatrix}
3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\
0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -6
\end{vmatrix}$
2. 解き方の手順
与えられた5x5の行列式を計算します。
まず、行列式の性質を利用して、計算を簡略化します。
第1列に着目すると、3行目、4行目、5行目の要素が0であるため、第1列に関する余因子展開を利用すると、行列式は次のようになります。
$\begin{vmatrix}
3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\
0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -6
\end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix}
6 & 0 & 9 & 1 \\
0 & 7 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & -6
\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}
5 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 7 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & -6
\end{vmatrix} + 0 - 0 + 0$
次に、残った4x4の行列式をそれぞれ計算します。
同様に、左側の4x4の行列式は第1列に注目して余因子展開すると、
$\begin{vmatrix}
6 & 0 & 9 & 1 \\
0 & 7 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & -6
\end{vmatrix} = 6 \cdot \begin{vmatrix}
7 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & -6
\end{vmatrix}$
右側の4x4の行列式は第1列に注目して余因子展開すると、
$\begin{vmatrix}
5 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 7 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & -6
\end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix}
7 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & -6
\end{vmatrix}$
ここで、3x3の行列式を計算します。これは第3行に注目して余因子展開すると、
$\begin{vmatrix}
7 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & -6
\end{vmatrix} = -6 \cdot \begin{vmatrix}
7 & 1 \\
3 & 2
\end{vmatrix} = -6 \cdot (7 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = -6 \cdot (14 - 3) = -6 \cdot 11 = -66$
したがって、元の行列式は次のようになります。
もう一つの解き方：
与えられた行列はブロック三角行列です。したがって、行列式は対角成分の行列式の積になります。
$\begin{vmatrix}
3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\
0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -6
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \cdot (-6)$
したがって、行列式は
3. 最終的な答え
-528