A君とB君が1200m先のゴール地点まで山登りをする。A君はスタート地点から$x$ m地点まで毎分40mの速さで行き、そこからゴールまで毎分30mで歩く。B君はスタート地点から$y$ m地点まで毎分40mの速さで行き、5分休憩した後、そこからゴールまで毎分60mの速さで行く。2人は同時にゴール地点に着き、$y = x + 120$である。$x$と$y$の値を求めよ。

1. 問題の内容

A君とB君が1200m先のゴール地点まで山登りをする。A君はスタート地点から$x$ m地点まで毎分40mの速さで行き、そこからゴールまで毎分30mで歩く。B君はスタート地点から$y$ m地点まで毎分40mの速さで行き、5分休憩した後、そこからゴールまで毎分60mの速さで行く。2人は同時にゴール地点に着き、$y = x + 120$である。$x$と$y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、A君がゴールするまでにかかる時間を式で表す。

A君が$x$ m地点までにかかる時間は$\frac{x}{40}$分。

$x$ m地点からゴールまでにかかる時間は$\frac{1200-x}{30}$分。

よって、A君がゴールするまでにかかる時間は$\frac{x}{40} + \frac{1200-x}{30}$分。

次に、B君がゴールするまでにかかる時間を式で表す。

B君が$y$ m地点までにかかる時間は$\frac{y}{40}$分。

$y$ m地点からゴールまでにかかる時間は$\frac{1200-y}{60}$分。

また、5分間の休憩時間がある。

よって、B君がゴールするまでにかかる時間は$\frac{y}{40} + 5 + \frac{1200-y}{60}$分。

2人が同時にゴールするので、以下の式が成り立つ。

$\frac{x}{40} + \frac{1200-x}{30} = \frac{y}{40} + 5 + \frac{1200-y}{60}$

$y = x + 120$なので、この式を代入する。

$\frac{x}{40} + \frac{1200-x}{30} = \frac{x+120}{40} + 5 + \frac{1200-(x+120)}{60}$

$\frac{x}{40} + \frac{1200-x}{30} = \frac{x+120}{40} + 5 + \frac{1080-x}{60}$

両辺に120をかける。

$3x + 4(1200-x) = 3(x+120) + 600 + 2(1080-x)$

$3x + 4800 - 4x = 3x + 360 + 600 + 2160 - 2x$

$-x + 4800 = x + 3120$

$2x = 1680$

$x = 840$

$y = x + 120$より、

$y = 840 + 120 = 960$

3. 最終的な答え

$x = 840$

$y = 960$