一周3200mの池の周りを太郎さんと花子さんがそれぞれ一周する。太郎さんの進んだ道のりを $y$ m、時間を $x$ 分としたグラフが与えられている。 (1) 太郎さんが出発して32分後から8分間休憩した。休憩前に毎分何mの速さで進んだかを求める。 (2) 休憩後に太郎さんが進んだ様子を表す直線の式を求める。 (3) 花子さんは太郎さんが出発してから24分後に、太郎さんとは反対の向きに毎分40mの速さで進み始めた。2人が出会うのは太郎さんが出発してから何分後かを求める。

1. 問題の内容

一周3200mの池の周りを太郎さんと花子さんがそれぞれ一周する。太郎さんの進んだ道のりを $y$ m、時間を $x$ 分としたグラフが与えられている。

(1) 太郎さんが出発して32分後から8分間休憩した。休憩前に毎分何mの速さで進んだかを求める。

(2) 休憩後に太郎さんが進んだ様子を表す直線の式を求める。

(3) 花子さんは太郎さんが出発してから24分後に、太郎さんとは反対の向きに毎分40mの速さで進み始めた。2人が出会うのは太郎さんが出発してから何分後かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 太郎さんは出発して32分で1600m進んでいるので、速さは $\frac{1600}{32} = 50$ m/分。

(2) 休憩後の直線の式を $y = ax + b$ とおく。

グラフより、(40, 1600), (60, 3200) を通るので、

$1600 = 40a + b$

$3200 = 60a + b$

この連立方程式を解くと、

$20a = 1600$

$a = 80$

$b = 1600 - 40 \times 80 = 1600 - 3200 = -1600$

よって、休憩後の直線の式は $y = 80x - 1600$。

(3) 花子さんが出発するのは太郎さんが出発してから24分後なので、花子さんが出発した時点での太郎さんの位置は $y = 80 \times 24 - 1600 = 1920 - 1600 = 320$。

花子さんが出発してからの時間を $t$ 分とすると、太郎さんの位置は $320 + 80t$、花子さんの位置は $40t$。

2人が出会うのは $320 + 80t + 40t = 3200$ のとき。

$120t = 2880$

$t = \frac{2880}{120} = 24$

よって、太郎さんが出発してから $24 + 24 = 48$ 分後に出会う。

3. 最終的な答え

(1) 毎分50m

(2) $y = 80x - 1600$

(3) 48分後