等式 $\frac{4x-5}{(x-3)(2x+1)} = \frac{a}{x-3} + \frac{b}{2x+1}$ が $x$ についての恒等式となるような定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

等式 $\frac{4x-5}{(x-3)(2x+1)} = \frac{a}{x-3} + \frac{b}{2x+1}$ が $x$ についての恒等式となるような定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x-3} + \frac{b}{2x+1} = \frac{a(2x+1) + b(x-3)}{(x-3)(2x+1)} = \frac{2ax+a+bx-3b}{(x-3)(2x+1)} = \frac{(2a+b)x + (a-3b)}{(x-3)(2x+1)}$

この式が $\frac{4x-5}{(x-3)(2x+1)}$ と等しくなるためには、分子が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$2a+b=4$

$a-3b=-5$

最初の式から $b = 4 - 2a$ となり、これを2番目の式に代入します。

$a - 3(4 - 2a) = -5$

$a - 12 + 6a = -5$

$7a = 7$

$a = 1$

次に、$b$ を求めます。

$b = 4 - 2a = 4 - 2(1) = 2$

したがって、$a = 1$ 、$b = 2$となります。

3. 最終的な答え

$a=1$

$b=2$