与えられた連立一次方程式を逆行列を用いて解く問題です。問題は二つあります。 (1) $ \begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} $ (2) $ \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} $

代数学線形代数連立一次方程式逆行列行列式余因子行列
2025/7/14

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を逆行列を用いて解く問題です。問題は二つあります。
(1)
[522312211][x1x2x3]=[103] \begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}
(2)
[411531110][x1x2x3]=[abc] \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

(1)
まず、与えられた行列を AA とし、解くべき方程式を Ax=bAx = b とします。逆行列 A1A^{-1} を求め、x=A1bx = A^{-1}b を計算することで解 xx を求めます。
A=[522312211]A = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix}
b=[103]b = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}
AA の逆行列を計算します。まず、AA の行列式 A|A| を計算します。
A=5((1)(1)(2)(1))(2)((3)(1)(2)(2))+2((3)(1)(1)(2))=5(12)+2(3+4)+2(32)=5(1)+2(1)+2(1)=5+2+2=1|A| = 5((-1)(-1) - (2)(1)) - (-2)((3)(-1) - (2)(-2)) + 2((3)(1) - (-1)(-2)) = 5(1-2) + 2(-3+4) + 2(3-2) = 5(-1) + 2(1) + 2(1) = -5 + 2 + 2 = -1
次に、AA の余因子行列 CC を計算します。
C11=(1)(1)(2)(1)=1C_{11} = (-1)(-1) - (2)(1) = -1
C12=((3)(1)(2)(2))=1C_{12} = -( (3)(-1) - (2)(-2) ) = -1
C13=(3)(1)(1)(2)=1C_{13} = (3)(1) - (-1)(-2) = 1
C21=((2)(1)(2)(1))=(22)=0C_{21} = -( (-2)(-1) - (2)(1) ) = -(2-2) = 0
C22=(5)(1)(2)(2)=5+4=1C_{22} = (5)(-1) - (2)(-2) = -5 + 4 = -1
C23=((5)(1)(2)(2))=(54)=1C_{23} = -( (5)(1) - (-2)(-2) ) = -(5-4) = -1
C31=(2)(2)(1)(2)=4+2=2C_{31} = (-2)(2) - (-1)(2) = -4 + 2 = -2
C32=((5)(2)(3)(2))=(106)=4C_{32} = -( (5)(2) - (3)(2) ) = -(10-6) = -4
C33=(5)(1)(3)(2)=5+6=1C_{33} = (5)(-1) - (3)(-2) = -5 + 6 = 1
したがって、C=[111011241]C = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \end{bmatrix}
AA の逆行列 A1A^{-1}A1=1ACTA^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T で与えられます。
A1=11[102114111]=[102114111]A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \\ -1 & -1 & -4 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}
x=A1b=[102114111][103]=[(1)(1)+(0)(0)+(2)(3)(1)(1)+(1)(0)+(4)(3)(1)(1)+(1)(0)+(1)(3)]=[1+0+61+0+121+03]=[5112]x = A^{-1}b = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(-1) + (0)(0) + (2)(3) \\ (1)(-1) + (1)(0) + (4)(3) \\ (-1)(-1) + (1)(0) + (-1)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 0 + 6 \\ -1 + 0 + 12 \\ 1 + 0 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \\ -2 \end{bmatrix}
(2)
A=[411531110]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
x=[x1x2x3]x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}
b=[abc]b = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}
AA の逆行列を計算します。まず、AA の行列式 A|A| を計算します。
A=4((3)(0)(1)(1))1((5)(0)(1)(1))+(1)((5)(1)(3)(1))=4(1)1(1)1(2)=4+12=5|A| = 4((3)(0) - (1)(1)) - 1((5)(0) - (1)(1)) + (-1)((5)(1) - (3)(1)) = 4(-1) - 1(-1) - 1(2) = -4 + 1 - 2 = -5
次に、AA の余因子行列 CC を計算します。
C11=(3)(0)(1)(1)=1C_{11} = (3)(0) - (1)(1) = -1
C12=((5)(0)(1)(1))=1C_{12} = -( (5)(0) - (1)(1) ) = 1
C13=(5)(1)(3)(1)=2C_{13} = (5)(1) - (3)(1) = 2
C21=((1)(0)(1)(1))=1C_{21} = -( (1)(0) - (-1)(1) ) = -1
C22=(4)(0)(1)(1)=1C_{22} = (4)(0) - (-1)(1) = 1
C23=((4)(1)(1)(1))=3C_{23} = -( (4)(1) - (1)(1) ) = -3
C31=(1)(1)(3)(1)=1+3=4C_{31} = (1)(1) - (3)(-1) = 1 + 3 = 4
C32=((4)(1)(5)(1))=(4+5)=9C_{32} = -( (4)(1) - (5)(-1) ) = -(4+5) = -9
C33=(4)(3)(1)(5)=125=7C_{33} = (4)(3) - (1)(5) = 12 - 5 = 7
したがって、C=[112113497]C = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & -3 \\ 4 & -9 & 7 \end{bmatrix}
AA の逆行列 A1A^{-1}A1=1ACTA^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T で与えられます。
A1=15[114119237]=[1/51/54/51/51/59/52/53/57/5]A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} -1 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -9 \\ 2 & -3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/5 & 1/5 & -4/5 \\ -1/5 & -1/5 & 9/5 \\ -2/5 & 3/5 & -7/5 \end{bmatrix}
x=A1b=[1/51/54/51/51/59/52/53/57/5][abc]=[(1/5)a+(1/5)b(4/5)c(1/5)a(1/5)b+(9/5)c(2/5)a+(3/5)b(7/5)c]=[(a+b4c)/5(ab+9c)/5(2a+3b7c)/5]x = A^{-1}b = \begin{bmatrix} 1/5 & 1/5 & -4/5 \\ -1/5 & -1/5 & 9/5 \\ -2/5 & 3/5 & -7/5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1/5)a + (1/5)b - (4/5)c \\ (-1/5)a - (1/5)b + (9/5)c \\ (-2/5)a + (3/5)b - (7/5)c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a + b - 4c)/5 \\ (-a - b + 9c)/5 \\ (-2a + 3b - 7c)/5 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

(1)
x1=5x_1 = 5, x2=11x_2 = 11, x3=2x_3 = -2
x=[5112]x = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \\ -2 \end{bmatrix}
(2)
x1=(a+b4c)/5x_1 = (a + b - 4c)/5
x2=(ab+9c)/5x_2 = (-a - b + 9c)/5
x3=(2a+3b7c)/5x_3 = (-2a + 3b - 7c)/5
x=[(a+b4c)/5(ab+9c)/5(2a+3b7c)/5]x = \begin{bmatrix} (a + b - 4c)/5 \\ (-a - b + 9c)/5 \\ (-2a + 3b - 7c)/5 \end{bmatrix}

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